推 jungKK:L'Hopital 11/29 17:50
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作者: BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴) 看板: trans_math
標題: Re: [極限] 極限求解
時間: Wed Nov 27 15:53:45 2013
※ 引述《simcity2013 (ONLY THE STRONG SURVIVE)》之銘言：
: 2 2
: ln(1+sin x - tan x)
: lim ---------------------
: x->0 4
: x
: 煩請各位大大解惑 謝謝~~
sinx = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) + ...
tanx = x + (x^3)/(3) + (2x^5)/(15) + ...
2 2
(sin x-tan x) = - (x^4) - (x^6)/(3) - ...
2 2
ln(1+sin x-tan x) = -(x^4) - (x^6)/3 - ...
---
-(x^4)-(x^6)/3-...
lim -------------------- = (-1) + 0 = -1
x->0 x^4
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◆ From: 114.46.113.154
※ 編輯: BaBi 來自: 114.46.113.154 (11/27 16:00)
推 simcity2013:不好意思 這解法好像還沒學到 這是後面章節的內容嗎?? 11/27 23:45
推 Laoda245566:對中後吧 11/28 00:13
→ lovehan:泰勒算是比較後面的章節 無誤 除非高中有讀過 11/28 23:13
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作者: Eliphalet (真係廢到冇朋友) 站內: trans_math
標題: Re: [極限] 極限求解
時間: Sat Nov 30 11:05:59 2013
※ 引述《BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)》之銘言：
: ※ 引述《simcity2013 (ONLY THE STRONG SURVIVE)》之銘言：
: : 2 2
: : ln(1+sin x - tan x)
: : lim ---------------------
: : x->0 4
: : x
: : 煩請各位大大解惑 謝謝~~
: sinx = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) + ...
: tanx = x + (x^3)/(3) + (2x^5)/(15) + ...
: 2 2
: (sin x-tan x) = - (x^4) - (x^6)/(3) - ...
: 2 2
: ln(1+sin x-tan x) = -(x^4) - (x^6)/3 - ...
: ---
: -(x^4)-(x^6)/3-...
: lim -------------------- = (-1) + 0 = -1
: x->0 x^4
來個簡單一些的...
首先呢 1. lim ln(1+x)/x = 1
x->0
2. 把原式分解成 ( 因當|x|>0且很小時, sin^2(x)-tan^2(x)恆不為0 )
ln(1+sin^2(x)-tan^2(x)) sin^2(x) - tan^2(x)
--------------------------- * ------------------------
sin^2(x) - tan^2(x) x^4
3. 現在只要看上式右邊的極限即可
4. 右式又可拆為
sin^2(x) 1 cos^2(x) - 1
------------ * ----------- * ----------------
x^2 cos^2(x) x^2
5. 又 cos^2(x) - 1 = -sin^2(x) 當 x-> 0時
右式趨近於 1^2 * 1 * (-1) = -1
6. 原本極限即為 -1
參考看看
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