→ yhliu:不是直接看成0, 是結果趨近0(極限是0). 01/16 18:32
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: yuyumagic424 (油油麻雞客) 看板: trans_math
標題: Re: [其他]
時間: Thu Jan 16 22:43:55 2014
※ 引述《qwsx51166 (bboyJ)》之銘言：
: 想請問極限的兩種情況我不太清楚
: 1 1 1
: 例1: ｌｉｍ｛---+ ---+ .... + --- ｝
: n->∞ n+1 n+2 n+n
: 這題雖然每項都接近０
: 但他有無限多項 所以不能都看成０
: 要用黎曼和求解
之所以不行
是因為你不知道這無限多個無窮小 會不會逐漸累積成一個可觀的數
譬如說你有 1/n＋1/n＋...＋1/n
n個 1/n
n趨近到無窮大
很明顯加起來是1
如果你有n^2個 1/n
你就會看到這些無窮小加起來以後是無窮大
但如果你有n個 1/n^2
那便會是無窮多項無窮小 加起來還是無窮小
所以我們的結論是說
光由「無窮多項無窮小」這件事
我們看不出什麼
: sin(x)
: 例2: ｌｉｍ｛--------｝如果用級數法展開
: x->0 x
: 2 4
: x X
: = ｌｉｍ｛1－---＋---+.....｝= 1
: x->0 3! 5!
: 為什麼用級數法後面那些無限項可以直接看成０?
: 請大大幫忙解惑 謝謝!!
這是因為 不會有累積的問題
為什麼不會有累積的問題 是因為每後一項都是更高階的無窮小
像那個第三項 x^4/5!
它是第二項的 x^2/20 倍
遠遠遠地比第二項還小 因為x非常非常小
至於第四項 又遠遠遠地比第三項還要小
所以根本就累積不起來
如果你一時還是難以接受它累積不起來
那我們這樣講
2
a ＋a x ＋a x ＋ ... , x->0
0 1 2
把它看成
2
a ＋ x (a ＋ a x ＋a x ＋ ... )
0 1 2 3
我們來看括號的部份
第n項是前一項的 a_n/a_(n-1) x 倍
有限數a_n/a_(n-1)乘上無窮小x
我們知道 如果每一項都是前一項的r倍 , -1<r<1
那麼就會是一個收斂的級數
而a_n/a_(n-1) x 當然是非常接近0 距離1或-1很遠
所以更會收斂
不管這個括號收斂到多少 反正就是某個有限的數
x乘上有限的數 收斂到0
所以
2
a ＋a x ＋a x ＋ ... , x->0
0 1 2
這東西就收斂到a
0
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.233.127
推 usl2736:這滿多人都會遇到的問題 建議M一下 01/17 18:10
推 qwsx51166:我懂了 感謝!! 01/17 18:23
→ BaBi:自從優文制度取消後, ｍ文的功能就是不能刪除而已Orz, 已收錄 01/17 21:44
※ 編輯: yuyumagic424 來自: 140.112.233.127 (01/24 04:21)
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Eliphalet (真係廢到冇朋友) 站內: trans_math
標題: Re: [其他]
時間: Fri Jan 17 18:25:09 2014
※ 引述《qwsx51166 (bboyJ)》之銘言：
: 想請問極限的兩種情況我不太清楚
: 1 1 1
: 例1: ｌｉｍ｛---+ ---+ .... + --- ｝
: n->∞ n+1 n+2 n+n
: 這題雖然每項都接近０
: 但他有無限多項 所以不能都看成０
: 要用黎曼和求解
這樣說好了，單就上面那件事並不能說明什麼
比如你的例子極限是 log 2
1/(√n + 1) + 1/(√n + 2) + ...+ 1/(√n + n) 極限是 +∞
n
像這個 Σ (1/k+n^2) 極限就會跑到 0
k=1
所以重點在於這些項相加後可否被良好的控制
n
比如 | Σ (1/k+n^2) | < n/(1+n^2)
k=1
像這個右邊那項就會趨近於 0，
在這個例子這些"趨近於 0"的項相加就沒什麼影響。
: sin(x)
: 例2: ｌｉｍ｛--------｝如果用級數法展開
: x->0 x
: 2 4
: x X
: = ｌｉｍ｛1－---＋---+.....｝= 1
: x->0 3! 5!
: 為什麼用級數法後面那些無限項可以直接看成０?
: 請大大幫忙解惑 謝謝!!
一樣的道理，可用 remainder term 來解釋
想一下，為什麼 sin x 的 Maclaurin series 會等於它自己 ?
不就是 remainder term 趨近於零嗎
如果你是遇到直接給你一個級數的，或許可以試試以下作法 ?
以下以你的例子為例。 給定一 0 < ε < 1，
讓 |x| < ε，
n
| Σ (-1)^k [x^(2k)]/(2k+1)! |
k=1
∞
≦ Σ [ε^(2k)]/(2k+1)!
k=1
∞
< Σ ε^(2k)
k=1
= ε^2/(1-ε^2)
右邊可以任意小，因此極限是零。
總而言之，言而總之，就是比較審斂的概念 -
看相加之後能不能被一有良好性質的控制住。
--
你現在感覺如何？感覺如何了！？
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.46.210.67
→ Eliphalet:√n + 1 是 sqrt(n+1)的意思 以下類推 01/17 18:27
推 qwsx51166:了解 謝謝!! 01/17 19:01
推 usl2736:何不√(n + 1)就好= = 01/17 19:51