作者yangsophie (sophie)
看板trans_math
標題[積分] 台大考古
時間Sat Jun 27 21:44:53 2015
(cosx)^6
(6) 積分 ---------- ，範圍從pi/4到pi/2
(sinx)^4
這題我唯一能想到的作法是把原式換成tanx四次方的倒數乘上secx平方的倒數
然後再用u=tanx代換，
1
得到 ---------------
u^4*(u^2+1)^2
理論上再將分母拆開作積分就可以得到答案了
但是這麼高的次方應該是很難在考試的時候算出來...
想請問有沒有更好的作法?
(14) 令曲線C為(x^2+y^2+x)^2=x^2+y^2，求此曲線所圍區域的面積
這題不知道怎麼下手...轉成極座標也算不太出來
麻煩大家幫我解惑，萬分感謝
原題目連結
http://goo.gl/W51lBm
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※ 編輯: yangsophie (49.214.88.97), 06/27/2015 21:56:20
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作者: BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴) 看板: trans_math
標題: Re: [積分] 台大103微B
時間: Sat Jun 27 22:25:01 2015
※ 引述《yangsophie (sophie)》之銘言：
: (cosx)^6
: (6) 積分 ---------- ，範圍從pi/4到pi/2
: (sinx)^4
: 這題我唯一能想到的作法是把原式換成tanx四次方的倒數乘上secx平方的倒數
: 然後再用u=tanx代換，
2 3
(1-sin x)
= ∫------------ dx
(sinx)^4
2 4 6
1 - 3sin x + 3sin x - sin x
= ∫------------------------------ dx
(sinx)^4
= ∫[ (cscx)^4 - 3(cscx)^2 + 1 - (sinx)^2 ] dx
然後接下來看你有沒有記 (cscx)^n 降次公式，
沒有就用IBP導一下，sinx一樣換成 [1-cos(2x)]/2 降次處理，
這題本來就是在考場上消耗你時間的，
看到請先跳過。
: 1
: 得到 ---------------
: u^4*(u^2+1)^2
: 理論上再將分母拆開作積分就可以得到答案了
: 但是這麼高的次方應該是很難在考試的時候算出來...
: 想請問有沒有更好的作法?
: (14) 令曲線C為(x^2+y^2+x)^2=x^2+y^2，求此曲線所圍區域的面積
: 這題不知道怎麼下手...轉成極座標也算不太出來
: 麻煩大家幫我解惑，萬分感謝
: 原題目連結 http://goo.gl/W51lBm
極座標轉換後可得
(r^2+rcosθ)^2=r^2
r^4 + 2r^3cosθ+r^2(cosθ)^2=r^2
Assume r≠0, r and θ are positive
=> r^2 [ r^2+2rcosθ+1 ]=r^2
=> r^2 (r+cosθ)^2=r^2
=> r+cosθ=1
=> r = 1-cosθ為一心尖於(-2,0)之心臟線
接下來就看你要採重積分還是極座標求面積了。
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推 yangsophie : 感謝B大!!! 下面那題我消掉r平方之後沒有想到假設 06/27 22:54
→ yangsophie : 為正就可以直接開方就好了... 06/27 22:54
→ yangsophie : 另外能不能麻煩幫我看看一樣這份考卷的第10題 06/27 22:54
→ yangsophie : 我在transfer板爬到的答案是(2/5,1/5) 06/27 22:54
→ yangsophie : 但是不知道為什麼我怎麼算我的x算出來就是不一樣 06/27 22:54
→ BaBi : 因為他要算的是曲"線"的形心, 你拿面積去取一次矩當 06/27 23:18
→ BaBi : 然求出來的東西不是他要的= = 06/27 23:18
推 upeo : 第十四題目應該是(x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2 06/28 13:06