推 RoarLiao:我也很想知道這個討論串的結果... 04/16 00:11
→ yonex:或者你可以寫寫你的想法... 04/16 01:53
推 feynmankao:看他的Taylor's series 也是sin的定義! 04/16 17:09
※ 引述《mokoko22222 (~★ ﹣→￣ ★~)》之銘言：
: ※ 引述《yonex (這個世界真的有愛情嗎？)》之銘言：
: : 基本三角函數極限
: : sinx
: : lim ------ ＝1
: : x→0 x
: : 課本上的證明是利用『平面幾何』直觀的方式，再配合夾擠定理...
: : 這是一個仰賴感官的證明（視覺），
: : 之前有板友提到講到所謂的『嚴謹性』，
: : 仰賴視覺或直觀，似乎有點違悖嚴謹性的訴求...
: : 那麼為何不可用 L'Hospital Rule 去證明呢？
: : 總之呢....想聽聽看各位的意見...
: L'Hospital Rule的證明是有邏輯謬誤的...
: sinx d(sinx)/dx
: from L'Hospital Rule, lim ------ = lim -----------
: x->0 x x->0 dx/dx
: d(sinx)/dx 是什麼呢? 當然我們都知道是cosx
: 但是在證明sinx的導函數是cosx時 我們已經用到了一件事 那就是lim sinx/x = 1
: x->0
: 所以使用L'Hospital Rule證明這個極限 = 1 已經無形中用了這個結論來推斷要證明的
: 東西
: 假如今天 有個方法可以不用利用lim sinx/x 來得到sinx的導函數 那麼當然就可以用
: L'Hospital Rule驗證了 x->0
mokoko22222兄的意思是....
(sinx)'=cosx，這個微分的推導....
在我們學習微積分的路線上(目前教科書的路線)
必須使用到這個三角函數基本極限，所以使用羅必達會導致『循環論證』
那麼是不是有機會得到sinx的導函數，而不用利用lim sinx/x＝1這個極限呢？
如果找得到，問題就解決了....我們的確可使用L'Hospital Rule驗證該極限。
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當我們使用『感官視覺』去定義三角函數時（正弦函數定義為：對邊除以斜邊）
似乎就沒辦法避免使用『視覺感官』去解決這個極限
那麼我只想說：三角函數真是經不起考驗。它仰賴視覺與圖形了....
沒有眼睛的外星人，難道就無法發現三角函數嗎？
難道就沒辦法發現 lim sinx/x＝1這個事實嗎？
難道他們就得不到(sinx)'=cosx這個定理嗎？
意識到空間是『彎曲』的明眼人將瞭解三角形內角和並非180度，
他又何以能接受在『平面的紙上』做圖形所得到的論證呢？
仰賴幾何直觀與經驗似乎不往往能得到可靠的事實....此乃因為『形缺數難入微』
先前我討論了 a^x＝log(a,x) 的交點個數，
直觀、經驗、圖形視覺上所顯示的...都很難讓我們相信會有三個交點（根）
圖形是不能代替證明的...因為定理的真假，與我們的幾何解釋好壞無關。
這麼看來，正弦函數定義為：『對邊除以斜邊』，
以現代數學的critical viewpoint而言似乎有所不妥....
如果另一種方式去定義三角函數而不仰賴幾何（尤其是歐式平面幾何）
或許我們真的可以得到sinx的導函數，而甭利用lim sinx/x＝1這個極限。
如此 L'Hospital Rule 驗證該極限，就不會產生邏輯上的矛盾。
以上就是我的想法.....
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※ 編輯: yonex 來自: 203.73.237.230 (04/16 00:12)