→ yonex:這篇文章還沒結束，會以對話錄的方式劃下句點.... 04/19 06:35
→ yonex:數與形的對話....提供給大一初等微積分的參考教材... 04/19 06:36
推 luckseven:你是不是要出書了........囧rz.... 04/19 10:21
路人甲：
「好吧，你認為形缺數難入微，
且不符合現代數學證明的嚴謹性...
所以你完全摒棄圖形與幾何的直觀性。
以完全解析的角度定義正、餘弦函數....
可是就幾何觀點引申出的的三角函數和角公式、倍角公式，畢竟有其實用性....
且代數式恆真是不可否認的事實！
以你的定義....不仰賴圖形與視覺，該如何解釋這樣的代數恆等式呢？」
試試看囉～～有何不可呢？
_________________________________
definition:
∞ (-1)^n
sinx = Σ -----------x^(2n+1)
n=0 (2n+1)!
∞ (-1)^n
cosx = Σ --------x^2n
n=0 (2n!)
_________________________________
by definition....
(sinx)'＝cosx
(cosx)'＝－sinx
Thm 1（和角公式）
sin(x+y) =sinxcosy + cosxsiny
cos(x+y) =cosxcosy - sinxsiny
pf:
固定y值
令f(x)= sin(x+y) - (sinxcosy + cosxsiny)
g(x)= cos(x+y) - (cosxcosy - sinxsiny)
by Thm1 we have
f'(x)= cos(x+y) - (cosxcosy - sinxsiny)= g(x)
g'(x)= -sin(x+y) + sinxcosy + cosxsiny = -f(x)
now we let (f^2+g^2)'= 2ff'+2gg'= 2fg-2gf =0
^^^^^^^^這函數的微分值恆為0 故此函數為常數函數
(在微積分這個定理有名子 叫零導數定理 由MVT証得)
此函數為常數，故代任何一點所得的值都一樣，在這裡代入x=0
f^2(0)+g^(0) = (siny-siny)^2 + (cosy-cosy)^2 =0
f(x)=g(x)=0
f(x)= sin(x+y) - (sinxcosy + cosxsiny)=0
g(x)= cos(x+y) - (cosxcosy - sinxsiny)=0
sin(x+y) =sinxcosy + cosxsiny
cos(x+y) =cosxcosy - sinxsiny
Q.E.D.
有了以上的結論，以下的證明就有點trivial了.....順便附上好了
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Thm2： sin2x=2sinxcosx
pf sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
Thm3： (sinx)^2+(cosx)^2=1
pf by definition cos0=1
1=cos0=cos(x-x)=cosxcos(-x)-sinxsin(-x)
=(cosx)^2 + (sinx)^2
PS：完全不依賴圖形，僅使用分析與代數的方法
也可證出 (sinx)^2+(cosx)^2=1
套上圖形....在歐式幾何裡，這就叫畢氏定理
Thm4： cos2x =2(cosx)^2 -1
pf cos2x = cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx= (cosx)^2 - (sinx)^2
=(cosx)^2-(1-cos^2x)= 2(cosx)^2 -1
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※ 編輯: yonex 來自: 203.73.225.91 (04/19 06:24)