推 fatcats:嗯~~感謝~~很清楚喔:) 04/21 07:54
※ 引述《fatcats ("月見草油"特價中)》之銘言：
: : Ｑ4：
: : 原來宇宙間有無窮多個這種無窮旅館，很不幸的一夕之間通通倒閉...
: : 只剩下一間名為Hilbert的無窮旅館還在經營，
: : 倒閉那天恰好每一間無窮旅館都住滿了人，
: : 現在全部蜂擁而至這個僅存的Hilbert旅館
: : 這下糟糕了....
: : 現在有.....無窮多個旅行團，而每個旅行團竟然又有無窮多個旅客
: : 夜幕低垂了....眼睜睜看一大堆人可憐人難道要露宿街頭、到處流浪嗎？
: : 我們得幫老闆想想辦法讓他們住進來....
: : 這簡直就是不可能的任務吧....嘖嘖....
: 有人跟我說~~
: ===========================================================
: 讓N搬到2N時~~不是已經產生無窮多個房間了嗎??
: 那問題四的部分
: 只要按照CHECK IN的順序
: 一間一間排進奇數編號的房間裡住~~~
: 第n位旅客住進(2*n-1)號房間
: 不就可以住進所有旅客了嗎??
: 為什麼要(X,Y)的編號方式呢??
: 題目也沒有要求旅館一定要客滿!?
: ===========================================================
: 嗯~~這樣的說法不知道對不對??
關鍵在於....無窮不只一種！
除非能找到彼此「一對一的映射關係」，
我們才能說：這兩個無窮集合具有同量級個數（基數），也就是一樣多個！
同基數的無窮有一個（悖逆直觀）的奇異的性質：
母體中可以找到「真子集合」，使其包含母體。
例如：正整數（N），顯然是整數（Z）的真子集合
彼此的個數其實是一樣多的（這似乎荒謬，遑論直觀）
證明如下：
.....7 5 3 1 2 4 6 ....
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ....
the mapping as following
1 ; if m=0
f(m)= 2m ; if m>0
-2m+1 ; if m<0
since 1-1 onto ∴Z~N
--------------
以上那個命題恰巧對應於旅館問題的Ｑ3
蜂擁而至的無窮多個新客人就像負整數，被安排到奇數號房間...
原本 1、2、3...號房的房客住進偶數號房...
Ｑ4.表達的是....無窮多個隊伍，裡面都有無窮多個學生
這是無窮多個無窮集合的聯集，實在很難讓我們相信能擠進這間
除非我們能把彼此一對一映射關係，才能說住的進去....
這就是為什麼ShadowElf兄要以(X,Y)的編號方式安排的原因
如此才能造就出那個「不顯然」的一對一映射.....
事實上，這樣的映射類似....有理數（Q） 對應到 正整數（N）
（倒閉的旅館編號放分母，該間旅館的房客編號放分子）
得到的結論是：有理數和正整數是一樣多的（太不可思議了....）
你要說了....這樣感覺起來，光正整數這一種無窮....就無所不包了
其實不然....
如果數線上所有的「點」都在流浪（當然含無理數點）
而且都想住進Hilbert的旅館
（「點」也有人權，也注重隱私，當然也要一「人」一間房）
Hilbert的旅館是無能為力的....
因為實數的個數比正整數多，而且多很多.....無法同日而語！
無論取多麼短的數線（例如：0～0.000001）裡面的點都遠多於Hilbert的旅館房間數
小小的結論是：無窮至少就有兩種：
正整數（N）個數的無窮 和 整數（Z） 和 有理數（Q）是一樣多的...稱「可數無窮」
實數（R）的無窮卻可怕的多，
今天我們把整條數線上，所有的「點」丟到一個桶子裡，
把手放進去伸手撈，一次抓一個點出來.....
抓到有理數的機會幾乎是0（個數相較於實數的無理數，稀少的實在可憐....）
終其一生我們都只會抓到無理數，
無理數的個數和整條實數是一樣多的....稱「不可數無窮」
可別以為無窮只有這兩種....事實上「無窮」有「無窮多種無窮」
方才所提的那兩個分別是最小（少）的前兩名小嘍囉而已.....
這就是大數學家康托（G.Cantor）一手打造的超限王國，
正如同現代物理學不能沒有原子與分子的概念一樣...
康托的超限王國是所有近代數學的理論基石
PS：以上只是一個令人汗顏的粗略概述而已....
我的體力已經不勝負荷，接近言不及義的地步....還是趕快喊停的好...
況且....我懂的東西也是相當有限...>"<
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