→ doser:用歸納法就好了啊..@@ 推 140.112.89.50 10/27
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作者: sio (閉 門 思 過) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Sun Oct 27 15:56:56 2002
※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: 幫忙一下吧!
: 請問一下...
: 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: 謝謝各位高手. :D
: 是用歸納法嗎?
: 還是...... -_-|||
(a-b)的平方會大於等於0
所以a平方加b平方會大於等於2ab
好像是這樣證
我也忘記了>"<
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◆ From: 140.112.170.87
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作者: Jennia (強顏歡笑...) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Sun Oct 27 16:03:06 2002
※ 引述《sio (閉 門 思 過)》之銘言：
: ※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: : 幫忙一下吧!
: : 請問一下...
: : 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: : 謝謝各位高手. :D
: : 是用歸納法嗎?
: : 還是...... -_-|||
: (a-b)的平方會大於等於0
: 所以a平方加b平方會大於等於2ab
: 好像是這樣證
: 我也忘記了>"<
a平方+b平方+2ab-4ab=(a-b)平方 大於等於零
(a+b)平方-4ab大於等於0
(a+b)平方 大於等於4ab
a+b>=2根號(ab)
(a+b)/2>=根號(ab)
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◆ From: 61.220.35.91
※ 編輯: Jennia 來自: 61.220.35.91 (10/27 16:05)
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作者: yangning (扭曲人雄霸天下) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Sun Oct 27 17:41:02 2002
※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: 幫忙一下吧!
: 請問一下...
: 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: 謝謝各位高手. :D
: 是用歸納法嗎?
: 還是...... -_-|||
呵呵,這題國中就交過了啊!!
先畫一個半圓AB弧,標出圓心O,再在半圓的直徑AB線段上任取一點D,
令此點將直徑分為a,b兩段
再以此點為準,對直徑AB線段做一鉛垂線交AB弧於C點,
做出三角形ABC,此時角ACB為直角.
此時在小三角形DOC中,OC線段必定大於CD線段,
又OC線段等於a+b/2(OC=OA=OB=AB/2),CD線段等於a乘以b再開根號(子母相似性質),
因此a+b/2 > a乘以b再開根號
當任意點D與圓心O重合時,就會使得a+b/2 = a乘以b再開根號
故 a+b/2 必大於等於 a乘以b再開根號.
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◆ From: 61.223.28.134
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作者: conway4 (set me free~~~~~~) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Sun Oct 27 17:51:54 2002
※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: 幫忙一下吧!
: 請問一下...
: 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: 謝謝各位高手. :D
: 是用歸納法嗎?
: 還是...... -_-|||
好像是(根號a-根號b)>0
當然 a b>0 的前提下
所以 a+b>2根號a乘b囉~~
應該降就可以了吧!!
我記得大同資訊的課本好像又有證
不過我忘了是高幾的了~~~
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◆ From: 140.112.205.244
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作者: rath (我要蓋大樓) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Sun Oct 27 17:55:14 2002
※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: 幫忙一下吧!
: 請問一下...
: 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: 謝謝各位高手. :D
: 是用歸納法嗎?
: 還是...... -_-|||
以上文章的解答都是 n=2時的情況
你要的是這種嗎？
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렠 任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
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◆ From: 210.85.79.184
→ hotticket:他歸納法都問出來了...m=2要用歸納法?? 推140.112.242.199 10/27
→ Triheart:看來原作只想要n=2 推 140.112.212.12 10/28
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作者: llrabel (都沒有在學習) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Sun Oct 27 20:58:48 2002
※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: 幫忙一下吧!
: 請問一下...
: 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: 謝謝各位高手. :D
: 是用歸納法嗎?
: 還是...... -_-|||
一般是用數學歸納法
不過也不是很好用
舊版高中數學統合有證明
用了蠻大的篇幅
還有這裡有
http://210.60.107.2/jflai/main.htm
到各類試題→挑戰題
然後倒數第二個選項就是
--
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◆ From: 140.112.241.231
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: chau (不哭 不等於堅強 ) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Mon Oct 28 01:42:59 2002
n=2 的證明以上板友提供了不少 其中也有幾何證法
這裡再提供一種
（√a－√b）^2≧0
__
→ a＋b ≧ 2√ab
a＋b __
→ ------ ≧ √ab
2
這種方法可以避免開根號時要注意的正負號討論
※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: 幫忙一下吧!
: 請問一下...
: 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: 謝謝各位高手. :D
: 是用歸納法嗎?
: 還是...... -_-|||
--
「miss」是想。
也是錯失的意思
「missyou」是想你。
同時，也是錯失你。
--
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◆ From: 61.224.149.30
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: chau (不哭 不等於堅強 ) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Mon Oct 28 01:54:34 2002
從 n=2 開始 代入 a = (r+s)/2 b = (t+u)/2
這樣可以推到 n=4 的情況 (再代一次則可以得到 n=8 的情況)
再從 n=4 的情況
a＋b＋c＋d 4 _____
-------------- ≧ √abcd
4
其中代入 d = (a+b+c)/3
可以得到 n=3 的情況
( 在 n=8 的情況中代入
a_8 = ( a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 )/7 則會得到 n=7 的情況)
要證明一般的情形只要先用歸納法證明對所有 n = 2^x 都成立
再證明只要 k 成立 k-1 也就會成立就行了
※ 引述《chau (不哭 不等於堅強 )》之銘言：
: n=2 的證明以上板友提供了不少 其中也有幾何證法
: 這裡再提供一種
: （√a－√b）^2≧0
: __
: → a＋b ≧ 2√ab
: a＋b __
: → ------ ≧ √ab
: 2
: 這種方法可以避免開根號時要注意的正負號討論
: ※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: : 幫忙一下吧!
: : 請問一下...
: : 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: : 謝謝各位高手. :D
: : 是用歸納法嗎?
: : 還是...... -_-|||
--
看得懂嗎??.....
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「miss」是想。
也是錯失的意思
「missyou」是想你。
同時，也是錯失你。
--
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◆ From: 61.224.149.30
→ llrabel:啊~~我慢了一步...不過算了...^^ 推140.112.241.231 10/28
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作者: llrabel (都沒有在學習) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Mon Oct 28 02:06:49 2002
※ 引述《llrabel (都沒有在學習)》之銘言：
: ※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: : 幫忙一下吧!
: : 請問一下...
: : 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: : 謝謝各位高手. :D
: : 是用歸納法嗎?
: : 還是...... -_-|||
: 一般是用數學歸納法
: 不過也不是很好用
: 舊版高中數學統合有證明
: 用了蠻大的篇幅
: 還有這裡有
: http://210.60.107.2/jflai/main.htm
: 到各類試題→挑戰題
: 然後倒數第二個選項就是
再提供一個方法
有 n=2 很容易證 n=4，有 n=4 很容易證 n=8...依此下去可以證 n=2^m 的情形
然後後面的可以用來證前面的
例如想要證 n=5 的情形，利用已得證的 n=8
令 u=(a+b+c+d+e)/5 , 其中a,b,c,d,e為任意非負實數
則 (a+b+c+d+e+u+u+u)/8 ≧ (abcdeuuu)^(1/8)
整理完就可得到 u≧(abcde)^(1/5)
想證 n=14 的情形，利用 n=16
令 u=(a1+a2+...+a14)/14 , 其中 a1~a14 為任意非負實數
則 (a1+a2+...+a14+u+u)/16 ≧ (a1*a2*...*a14*u*u)^(1/16)
整理完就可得到 u≧(a1*a2*...*a14)^(1/14)
用這樣的想法
也可以寫出一個類似歸納法的證明：
先證明若 n=2^m 對的話則 n=2^(m+1) 也對
所以 n=2^k 的情形都對
接下來
證明若 n=2^m 對的話則 n=p 也對，只要 p<2^m
而因為對任意正整數p，必存在某個正整數m使得 p<2^m (因為數列{2^n}無上界)
於是定理證畢
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◆ From: 140.112.241.231
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作者: timmy (山豬) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問各位高手如何證明此題.
時間: Mon Oct 28 01:48:55 2002
不懂ㄟ...
n = 2 是什麼意思阿?
是開三次方的證明嗎?
※ 引述《rath (我要蓋大樓)》之銘言：
: ※ 引述《timmy (山豬)》之銘言：
: : 幫忙一下吧!
: : 請問一下...
: : 如何證明算術平均數大於等於幾何平均數?
: : 謝謝各位高手. :D
: : 是用歸納法嗎?
: : 還是...... -_-|||
: 以上文章的解答都是 n=2時的情況
: 你要的是這種嗎？
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◆ From: 61.224.137.100
※ 編輯: timmy 來自: 61.224.137.100 (10/28 01:52)