→ doa2:用柯西吧 推 140.112.249.46 06/08
→ AOK:也許是因為算幾最大值時 條件不可能成立 推218.166.108.229 06/08
→ TwoOneboy:單純用課本上的科西做不出來唷 推140.112.212.119 06/09
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作者: rath (柿子挑軟的吃噢！) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 00:52:20 2003
※ 引述《lostmyself (認真)》之銘言：
: 題目:
: 2 3
: 設 0 < x < π/2 求 f(x) = --------- + ---------- 之最小值
: sin x cos x
: 為什麼這題不能用算幾不等式解呢
: 煩請賜教 謝謝
你要怎麼用？
--
렠 任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
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◆ From: 210.85.79.238
→ autnb:用用看柯西吧!! 推 210.85.44.51 06/09
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作者: fuje (早點康復ㄋㄟ!!) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 02:40:51 2003
※ 引述《lostmyself (認真)》之銘言：
: 題目:
: 2 3
: 設 0 < x < π/2 求 f(x) = --------- + ---------- 之最小值
: sin x cos x
: 為什麼這題不能用算幾不等式解呢
: 煩請賜教 謝謝
算極值最好的方法是用微積分 算幾不等式只能求大概的範圍
譬如這題用算幾求出的極小值發生在x=atan(2/3)
能用微積分算的極小值發生在x=atan((2/3)^(1/3))
算幾所求的範圍是說A+B大於等於一個值2(A*B)^0.5
~~~~~~~~~~
A=B時等號成立 但成立的那個值並不是真正的最小值而只是個定值
舉個例子 令y=2a+b
你可以說 (2a+b)/2 大於等於 (2ab)^0.5
也可以說 (a+a+b)/3 大於等於 (a^2*b)^(1/3)
所定出來的邊界值不就不同了....
不過我也不確定說的對不對 四年沒碰高中數學了....沒啥用到不等式
說錯的話請多包含
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到不了的世界是最美好的世界
誰都無法改變這世界的結局...
這世界也不會為了誰而改變
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◆ From: 61.217.217.34
※ 編輯: fuje 來自: 61.217.217.34 (06/09 02:42)
→ TwoOneboy:算極值最好方法是根據不同題目用不同方法 推140.112.212.119 06/09
→ TwoOneboy:微積分是不得已時的方法，因為算起來很慢 推140.112.212.119 06/09
→ TwoOneboy:而且真正難題用微積分根本就做不出來 推140.112.212.119 06/09
→ rath:推樓上+而且未必不準 推 210.85.79.238 06/09
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作者: TwoOneboy (好樣的 ^^) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 04:18:05 2003
※ 引述《lostmyself (認真)》之銘言：
: 題目:
: 2 3
: 設 0 < x < π/2 求 f(x) = --------- + ---------- 之最小值
: sin x cos x
: 為什麼這題不能用算幾不等式解呢
: 煩請賜教 謝謝
這題可以用算幾解啦，只不過要稍微變化一下
（以下是台中一中黃呈明老師的解法）
令 T = acscθ + bsecθ
則 T^2 = a2(cot2θ+1) + b2(tan2θ+1) + 2absecθcscθ(sin2θ+cos2θ)
= a2(cot2θ+1) + b2(tan2θ+1) + 2ab(tanθ+cotθ)
= a2 + b2 + (a2cot2θ+abtanθ+abtanθ) + (b2tan2θ+abcotθ+abcotθ)
≧ a2 + 3a(4/3)b(2/3) + 3a(2/3)b(4/3) + b2
= [a(2/3) + b(2/3)]^3
所以 T≧[a(2/3) + b(2/3)]^(3/2)
"="成立時，需滿足
(a2cot2θ = abtanθ = abtanθ) 且 (b2tan2θ = abcotθ = abcotθ)
兩式皆成立在 tanθ=(a/b)^(1/3)
--
這題最快的做法是用廣義科西來做，用看的三秒鐘就算出來了
廣義科西只不過是算幾的推廣型，用算幾不等式一下子就證出來了
所以算幾不等式還是很好用低～不要小看它呀
這題的廣義科西做法：
(a^3 + b^3)(c^3 + d^3)(e^3 + f^3)≧(ace + bdf)^3
--
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◆ From: 140.112.212.119
→ rath:真強~ 推 210.85.79.238 06/09
→ donator:以前就覺得黃老師很強啊！ 推 210.85.108.208 06/09
※ 編輯: TwoOneboy 來自: 140.112.124.168 (06/09 14:28)
→ TwoOneboy:其實我tan、cot寫反了說，都沒人發現 推140.112.124.168 06/09
→ doa2:因為懶的看...XD 推 140.112.249.46 06/09
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作者: fuje (早點康復ㄋㄟ!!) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 12:35:51 2003
※ 引述《TwoOneboy (好樣的 ^^)》之銘言：
: ※ 引述《lostmyself (認真)》之銘言：
: : 題目:
: : 2 3
: : 設 0 < x < π/2 求 f(x) = --------- + ---------- 之最小值
: : sin x cos x
: : 為什麼這題不能用算幾不等式解呢
: : 煩請賜教 謝謝
: 這題可以用算幾解啦，只不過要稍微變化一下
: （以下是台中一中黃呈明老師的解法）
: 令 T = acscθ + bsecθ
: 則 T^2 = a2(tan2θ+1) + b2(cot2θ+1) + 2absecθcscθ(sin2θ+cos2θ)
: = a2(tan2θ+1) + b2(cot2θ+1) + 2ab(tanθ+cotθ)
: = a2 + b2 + (a2tan2θ+abcotθ+abcotθ) + (b2cot2θ+abtanθ+abtanθ)
: ≧ a2 + 3a(4/3)b(2/3) + 3a(2/3)b(4/3) + b2
: = [a(2/3) + b(2/3)]^3
: 所以 T≧[a(2/3) + b(2/3)]^(3/2)
: "="成立時，需滿足
: (a2tan2θ = abcotθ = abcotθ) 且 (b2cot2θ = abtanθ = abtanθ)
: 兩式皆成立在 tanθ=(b/a)^(1/3)
看到解法我只覺得是在湊答案 讓算幾湊出的值剛好落在我用微積分算的
x=atan((2/3)^(1/3)) 要不然算幾的湊法有無限多種 不可能剛好被你湊到
用柯西是超快啦 不過求極值真的要用微積分才保險
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◆ From: 61.217.213.232
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作者: fuje (早點康復ㄋㄟ!!) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 12:46:56 2003
※ 引述《fuje (早點康復ㄋㄟ!!)》之銘言：
: ※ 引述《lostmyself (認真)》之銘言：
: : 題目:
: : 2 3
: : 設 0 < x < π/2 求 f(x) = --------- + ---------- 之最小值
: : sin x cos x
: : 為什麼這題不能用算幾不等式解呢
: : 煩請賜教 謝謝
: 算極值最好的方法是用微積分 算幾不等式只能求大概的範圍
: 譬如這題用算幾求出的極小值發生在x=atan(2/3)
: 能用微積分算的極小值發生在x=atan((2/3)^(1/3))
: 算幾所求的範圍是說A+B大於等於一個值2(A*B)^0.5
: ~~~~~~~~~~
: A=B時等號成立 但成立的那個值並不是真正的最小值而只是個定值
: 舉個例子 令y=2a+b
: 你可以說 (2a+b)/2 大於等於 (2ab)^0.5
: 也可以說 (a+a+b)/3 大於等於 (a^2*b)^(1/3)
: 所定出來的邊界值不就不同了....
: 不過我也不確定說的對不對 四年沒碰高中數學了....沒啥用到不等式
: 說錯的話請多包含
昨天太晚回po 沒說到重點 只說到算幾不等式的壞處
現在說得仔細一點 f(x)=2/sinx +3/cosx 0 < x < π/2
如果令a(x)=2/sinx , b(x)=3/cosx ,則隨著x變化...
a(x1)+b(x1) >= 2(a(x1)*b(x1))^(1/2)
a(x2)+b(x2) >= 2(a(x2)*b(x2))^(1/2)
a(x3)+b(x3) >= 2(a(x3)*b(x3))^(1/2)
.
.
.
a(xn)+b(xn) >= 2(a(xn)*b(xn))^(1/2)
比較左邊 要求最小值
上面的等號不會成立 因為a,b已經由x之值固定而固定
只有當x=atan(2/3)時等號成立
如果你是用算幾算最小值 所得的值就會是x=atan(2/3)所帶之值
但題目要你求的是a+b之最小值
x=atan(2/3)時並不一定是a(x)+b(x)中的最小值 只是讓算幾不等式的等號成立
原po者 相信看到這裡應該解決你的疑惑了吧?! 如果還不知道的話再寫信給我吧!!
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◆ From: 61.217.213.232
→ lostmyself:解決了 謝謝 推 61.228.130.252 06/09
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作者: rath (給我頭就好..........) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 14:08:41 2003
※ 引述《fuje (早點康復ㄋㄟ!!)》之銘言：
: ※ 引述《TwoOneboy (好樣的 ^^)》之銘言：
: : 這題可以用算幾解啦，只不過要稍微變化一下
: : （以下是台中一中黃呈明老師的解法）
: : 令 T = acscθ + bsecθ
: : 則 T^2 = a2(tan2θ+1) + b2(cot2θ+1) + 2absecθcscθ(sin2θ+cos2θ)
: : = a2(tan2θ+1) + b2(cot2θ+1) + 2ab(tanθ+cotθ)
: : = a2 + b2 + (a2tan2θ+abcotθ+abcotθ) + (b2cot2θ+abtanθ+abtanθ)
: : ≧ a2 + 3a(4/3)b(2/3) + 3a(2/3)b(4/3) + b2
: : = [a(2/3) + b(2/3)]^3
: : 所以 T≧[a(2/3) + b(2/3)]^(3/2)
: : "="成立時，需滿足
: : (a2tan2θ = abcotθ = abcotθ) 且 (b2cot2θ = abtanθ = abtanθ)
: : 兩式皆成立在 tanθ=(b/a)^(1/3)
: 看到解法我只覺得是在湊答案 讓算幾湊出的值剛好落在我用微積分算的
: x=atan((2/3)^(1/3)) 要不然算幾的湊法有無限多種 不可能剛好被你湊到
: 用柯西是超快啦 不過求極值真的要用微積分才保險
至少對於acscA+bsecA來說是general form吧~
微積分是很好用,不過要對學過的人來說才會好用
至少在高中以下用算幾是比較恰當的,
求極值的方法百百種,隨人喜好,
在某個角度來說,基礎數學更能表現數學的美
微積分在很多人看來只是一種運算的工具罷了
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◆ From: 210.64.98.71
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作者: TwoOneboy (好樣的 ^^) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 14:53:55 2003
基本上，在高中數學的範疇裡面
我很少做到非要用微積分來求極值的題目，通常都是用算幾或科西一兩步就做出來了
算幾湊法無線多種？我覺得這是經驗問題，你題目算多了自然就知道要怎麼湊
黃呈明老師的那個解法其實我只記得老師是用tan、cot以及算幾做出來的
詳細步驟都忘了，我也是臨時自己湊出來的，這種東西本來就是要自己去找最佳湊法
另外，在競賽數學裡面，由於式子非常一般化，變數又很多
微積分根本就用不上，我幾乎沒做過可以用微積分來解的競賽題，不然就是會很複雜
例如下面這題用科西來做非常的簡單，但用微積分就很難做了
a+b+c+d+e=8
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16
求e的最大值
求極值還是要看題目選方法，科西、算幾的湊法則是憑經驗
一般說來，高中題目用算幾、科西會比用微積分還快很多
但是有少部分很偏的題目真的是非用微積分來做不可
--
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◆ From: 140.112.124.168
→ lostmyself:Thanks 推 61.228.130.252 06/09
→ lostmyself:不過要怎麼用廣義的柯西解 推 61.228.130.252 06/09
→ lostmyself:我是指有三角函數的那題 煩賜教 謝謝 推 61.228.130.252 06/09
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: AOK (超混高三生) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 19:06:39 2003
※ 引述《rath (柿子挑軟的吃噢！)》之銘言：
: ※ 引述《lostmyself (認真)》之銘言：
: : 題目:
: : 2 3
: : 設 0 < x < π/2 求 f(x) = --------- + ---------- 之最小值
: : sin x cos x
: : 為什麼這題不能用算幾不等式解呢
: : 煩請賜教 謝謝
: 你要怎麼用？
請問如果用科西的話是怎麼樣 謝謝
--
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◆ From: 218.166.111.30
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: doa2 (我要唱歌!) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Mon Jun 9 19:14:10 2003
※ 引述《AOK (超混高三生)》之銘言：
: ※ 引述《rath (柿子挑軟的吃噢！)》之銘言：
: : 你要怎麼用？
: 請問如果用科西的話是怎麼樣 謝謝
(a^3+b^3)(c^3+d^3)(e^3+f^3)>=(ace+bdf)^3
(2/sinx+3/cosx)(2/sinx+3/cosx)(sin^2x+cos^2x)>=(4^(1/3)+9^(1/3))^3
^^^^^^^^^^^^^^
恆為1
故(2/sinx+3/cosx)^2>=(4^(1/3)+9^(1/3))^3
2/sinx+3/cosx>=[4^(1/3)+9^(1/3)]^(3/2)
--
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◆ From: 140.112.249.46
→ AOK:謝謝 推218.167.219.215 06/09
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: doa2 (我要唱歌!) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 求極值
時間: Tue Jun 10 02:41:58 2003
※ 引述《TwoOneboy (好樣的 ^^)》之銘言：
: 標題: Re: [問題] 求極值
: 時間: Mon Jun 9 14:53:55 2003
: a+b+c+d+e=8
: a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16
: 求e的最大值
:
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
: ◆ From: 140.112.124.168
: → lostmyself:Thanks 推 61.228.130.252 06/09
: → lostmyself:不過要怎麼用廣義的柯西解 推 61.228.130.252 06/09
: → lostmyself:我是指有三角函數的那題 煩賜教 謝謝 推 61.228.130.252 06/09
如果你問原來那題
已經解在之前的的文章了
上面這一題的話
a+b+c+d=8-e
a^2+b^2+c^2+d^2=16-e^2
由柯西知
(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)>=(a+b+c+d)^2
(16-e^2)*4>=(8-e)^2
64-4e^2>=64-16e+e^2
5e^2-16e<=0
0=<e<=16/5
得e之最大值為16/5
此時a=b=c=d=4/5
--
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◆ From: 140.112.249.46
※ 編輯: doa2 來自: 140.112.249.46 (06/10 02:42)