請問一題三角函數

[wb90 (下半季再來過!)]

三角形三邊a b c成A.P

求tan(A/2)*tan(C/2)        Ans:1/3




(我有代3.4.5算過...答案應該是對的...
 可是還是不曉得怎麼把邊長的關係利用進去
 麻煩一下 先謝過)


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◆ From: 218.166.83.75

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作者: valken (do my best) 看板: tutor
標題: Re: 請問一題三角函數
時間: Sat Jun 21 10:51:31 2003

※ 引述《wb90 (下半季再來過!)》之銘言：
: 三角形三邊a b c成A.P
: 求tan(A/2)*tan(C/2)        Ans:1/3
: (我有代3.4.5算過...答案應該是對的...
:  可是還是不曉得怎麼把邊長的關係利用進去
:  麻煩一下 先謝過)
原式=1-cosA    sinC
    --------*-------
      sinA    1+cosC

把餘弦定理代入cosA及cosC
又sinA=a/2R ,sinC=c/2R
再由題意 令a=b+d  c=b-d

整理即可得1/3

有點小暴力  不過很好整理
沒有想像中複雜
不知道有沒有更好的方法
參考參考吧^^

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作者: TwoOneboy (期末考一起加油唷) 看板: tutor
標題: Re: 請問一題三角函數
時間: Sat Jun 21 20:23:30 2003

※ 引述《wb90 (下半季再來過!)》之銘言：
: 三角形三邊a b c成A.P
: 求tan(A/2)*tan(C/2)        Ans:1/3
: (我有代3.4.5算過...答案應該是對的...
:  可是還是不曉得怎麼把邊長的關係利用進去
:  麻煩一下 先謝過)
                        ___________________
有個公式是 tan(A/2) = √(s-b)(s-c) / s(s-a)
                        ___________________
           tan(C/2) = √(s-a)(s-b) / s(s-c)

這公式有背的話（我高中的時候有背....），一步就做出來囉，不然也不難導

<導法>    ________________                      ___________________
△ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c) = rs    -->    r = √(s-a)(s-b)(s-c) / s

畫個三角形和其內切圓的圖，可發現 A點 到內切圓的切線長是 s-a
                                 B點 到內切圓的切線長是 s-b
                                 C點 到內切圓的切線長是 s-c

所以 tan(A/2) = r/(s-a)  ，  tan(B/2) = r/(s-b)  ，  tan(C/2) = r/(s-c)
以下略

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我習慣這麼做題目（遇到 θ/2 的題目就畫個內切圓），所以用這方法做會比較快
但不熟悉這方法的人做起來可能就會很慢了，可能用別的方法會比較好

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作者: TwoOneboy (期末考一起加油唷) 看板: tutor
標題: Re: 請問一題三角函數
時間: Sat Jun 21 20:36:27 2003

※ 引述《TwoOneboy (期末考一起加油唷)》之銘言：
: ※ 引述《wb90 (下半季再來過!)》之銘言：
: : 三角形三邊a b c成A.P
: : 求tan(A/2)*tan(C/2)        Ans:1/3
: : (我有代3.4.5算過...答案應該是對的...
: :  可是還是不曉得怎麼把邊長的關係利用進去
: :  麻煩一下 先謝過)
:                         ___________________
: 有個公式是 tan(A/2) = √(s-b)(s-c) / s(s-a)
:                         ___________________
:            tan(C/2) = √(s-a)(s-b) / s(s-c)
: 這公式有背的話（我高中的時候有背....），一步就做出來囉，不然也不難導
: <導法>    ________________                      ___________________
: △ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c) = rs    -->    r = √(s-a)(s-b)(s-c) / s
: 畫個三角形和其內切圓的圖，可發現 A點 到內切圓的切線長是 s-a
:                                  B點 到內切圓的切線長是 s-b
:                                  C點 到內切圓的切線長是 s-c
: 所以 tan(A/2) = r/(s-a)  ，  tan(B/2) = r/(s-b)  ，  tan(C/2) = r/(s-c)
: 以下略
突然想到，如果我出題目的話，就直接出「b是週長的 2/7，求tan(A/2)*tan(C/2)」
這樣大概沒多少人做的出來:PP

這題的另外做法晚點再想看看好了，應該還可以用「三邊成A.P」去導出另一做法的

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作者: valken (do my best) 看板: tutor
標題: Re: 請問一題三角函數
時間: Sat Jun 21 23:58:45 2003

※ 引述《TwoOneboy (期末考一起加油唷)》之銘言：
: ※ 引述《TwoOneboy (期末考一起加油唷)》之銘言：
: :                         ___________________
: : 有個公式是 tan(A/2) = √(s-b)(s-c) / s(s-a)
: :                         ___________________
: :            tan(C/2) = √(s-a)(s-b) / s(s-c)
: : 這公式有背的話（我高中的時候有背....），一步就做出來囉，不然也不難導
: : <導法>    ________________                      ___________________
: : △ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c) = rs    -->    r = √(s-a)(s-b)(s-c) / s
: : 畫個三角形和其內切圓的圖，可發現 A點 到內切圓的切線長是 s-a
: :                                  B點 到內切圓的切線長是 s-b
: :                                  C點 到內切圓的切線長是 s-c
: : 所以 tan(A/2) = r/(s-a)  ，  tan(B/2) = r/(s-b)  ，  tan(C/2) = r/(s-c)
: : 以下略
: 突然想到，如果我出題目的話，就直接出「b是週長的 2/7，求tan(A/2)*tan(C/2)」
: 這樣大概沒多少人做的出來:PP
令a=y+z b=x+z c=x+y

可知tan(A/2)*tan(C/2)=(r^2)/xz    r為內接圓半徑

由海龍公式△ABC = √s(s-a)(s-b)(s-c) = rs  '兩邊平方

=>(s-a)(s-b)(s-c) = (r^2)*s

=>x*y*z=(r^2)s

所以所求(r^2)/xz= y/s = (s-b)/s =3/7

對否@@"

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◆ From: 218.173.110.91
→ doa2:為什麼可以這樣"令"..?
→ valken:畫內切圓看看啊 切線長相等嘛
→ valken:就是作者的方法 只是這樣表式子較簡潔而已
→ TwoOneboy:答案是對啦，可是這樣設麻煩很多耶 @@
→ TwoOneboy:可能是個人習慣不同吧 我不習慣另設xyz @@
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作者: rath (給我頭就好..........) 看板: tutor
標題: Re: 請問一題三角函數
時間: Sun Jun 22 03:28:05 2003

※ 引述《wb90 (下半季再來過!)》之銘言：
: 三角形三邊a b c成A.P
: 求tan(A/2)*tan(C/2)        Ans:1/3
: (我有代3.4.5算過...答案應該是對的...
:  可是還是不曉得怎麼把邊長的關係利用進去
:  麻煩一下 先謝過)
  1.a,b,c成AP => 2b=a+c => 2sinB=sinA+sinC => 2sin(A+C)=sinA+sinC
           A+C      A+C          A+C      A-C
  2.2*2sin(----)cos(----) = 2sin(----)cos(----)  左邊半角，右邊和差化積
            2        2            2        2
      ^^^^^^^^^^            ^^^^^^^^^^ 約分
         A+C         A-C
  3.2cos(----) = cos(----)
          2           2

  4.2[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)

  5.cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(A/2)

                                   3sin(A/2)sin(A/2)       1
  6.同除cos(A/2)cos(C/2) =>  1 = -------------------- =>  ---= tan(A/2)tan(C/2)
                                    cos(A/2)cos(C/2)       3

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              렠     任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
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◆ From: 210.85.79.97