[問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)

[weisor (有一天 如果...)]

             _ 2
        Σ(X-x)
s^2  = ------------
          n-1


請問為什麼要用 n-1 阿?

--
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◆ From: 140.112.243.218
→ Amades:呵...突然想起來之前老師只叫我們記著就好
→ doa2:自由度的問題
→ weisor:能不能做更進一步的說明阿?
→ labaym:如果是抽樣的話，用n-1
→ labaym:如果是普查的話，用除以n
→ weisor:可是為什麼抽樣要用n-1呢?
→ rikova:除以n-1才符合不偏性(unbiased)
→ rikova:去修個高統或數統就知道了...
→ weisor:可是高中數學就在教這個了
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作者: doa2 (好窮..沒錢..Q_Q) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 18:24:46 2003

※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
:              _ 2
:         Σ(X-x)
: s^2  = ------------
:           n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?
如果資料是抽樣資料

樣本數為n

當n=1時  無法知道其變異的程度
          _      _
n=2時  X1-x=-(X2-x)

只能知道一個變異的程度

所以當樣本數為n
       _         _
殘差Xi-x,  Σ(Xi-x)=0

只有n-1個是自由的,第n個殘差值等於其他殘差值總合的負值

--
我統計不好...@@  以上都是照本宣科而已

--
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◆ From: 140.112.249.46

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作者: potoser (有趣的UDD) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 18:22:07 2003

※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
:              _ 2
:         Σ(X-x)
: s^2  = ------------
:           n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?
   統計學裡面有說

  高中好像不用減1 後來學統計學裡面有提到減一的問題....

  ...好像是自由度...

--
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◆ From: 140.112.213.163

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作者: weisor (有一天 如果...) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 18:36:26 2003

※ 引述《potoser (有趣的UDD)》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: :              _ 2
: :         Σ(X-x)
: : s^2  = ------------
: :           n-1
: : 請問為什麼要用 n-1 阿?
:    統計學裡面有說
:   高中好像不用減1 後來學統計學裡面有提到減一的問題....
:   ...好像是自由度...

我高中學標準差的時候是不用減一

可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)

完全搞不懂為什麼

要如何說明要用n-1阿

(因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)

--
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◆ From: 140.112.243.218
※ 編輯: weisor          來自: 140.112.243.218      (03/23 18:36)
※ 編輯: weisor          來自: 140.112.243.218      (03/23 18:37)
→ doa2:縮小估計母體標準差的誤差
→ weisor:可以有數學式的推導嗎?
→ DEREK:沒必要教高中生那麼複雜吧|||
→ weisor:其實主要是我自己想了解啦 ^^"
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作者: OneofPieces (STILL LOVING YOU ) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 20:49:08 2003



※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: ※ 引述《potoser (有趣的UDD)》之銘言：
: :    統計學裡面有說
: :   高中好像不用減1 後來學統計學裡面有提到減一的問題....
: :   ...好像是自由度...
: 我高中學標準差的時候是不用減一
: 可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)
: 完全搞不懂為什麼
: 要如何說明要用n-1阿
: (因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)

    簡單來說為何要用n-1

    譬如有10個數,由1,2,3...,9,0

    你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~

    第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..

    那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~

    所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~

    所以為 10 - 1 = 9,

    這是統計上說的,....

--

    愛需要傻勁，但不能傷害別人，愛需要耐力，但不是一再的騷擾愛人，

    愛有許多的能力，能使人快樂，亦能使人痛苦。

    時常補給自己愛的知識，讓愛人與被愛都有福。

--
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◆ From: 140.112.243.135

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作者: coco1003 (小精靈) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 21:25:52 2003

※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: : 我高中學標準差的時候是不用減一
: : 可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)
: : 完全搞不懂為什麼
: : 要如何說明要用n-1阿
: : (因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)
:     簡單來說為何要用n-1
:     譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
:     你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
:     第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
:     那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
:     所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
:     所以為 10 - 1 = 9,
:     這是統計上說的,....
記得在上分析化學的時候
老師有說過
若族群夠大的話...就用n....
若族群太小的話...就用n-1...
至於多少才叫做大咧???
分析化學課本中是說   當n>20時.....才稱的上是大.....所以用n代
                        <20.......稱做小.................n-1

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◆ From: 219.68.10.188

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作者: DEREK (全身無力頭好痛><) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 22:12:22 2003

※ 引述《coco1003 (小精靈)》之銘言：
: ※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: :     簡單來說為何要用n-1
: :     譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
: :     你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
: :     第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
: :     那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
: :     所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
: :     所以為 10 - 1 = 9,
: :     這是統計上說的,....
: 記得在上分析化學的時候
: 老師有說過
: 若族群夠大的話...就用n....
: 若族群太小的話...就用n-1...
: 至於多少才叫做大咧???
: 分析化學課本中是說   當n>20時.....才稱的上是大.....所以用n代
:                         <20.......稱做小.................n-1
我記得我高中數學老師有說過...
當你是抽樣的時候就要用n-1..全效用亂數抽部份人的成績出來的平均
但當你是用母體的話就用n...像是全班的平均

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◆ From: 61.223.21.66

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作者: OLMEC (gogogo) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Sun Mar 23 22:34:20 2003

※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: : 我高中學標準差的時候是不用減一
: : 可是現在改版後 就要減一了(至少南一版是)
: : 完全搞不懂為什麼
: : 要如何說明要用n-1阿
: : (因為教科書上是寫用n-1可以縮小誤差 為什麼會縮小誤差阿)
:     簡單來說為何要用n-1
:     譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
:     你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
:     第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
:     那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
:     所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
:     所以為 10 - 1 = 9,
:     這是統計上說的,....

恩~~~

自由度大概知道了些

可是還是不清楚為什麼可以縮小誤差耶@@

可以解釋再清楚些嗎

--
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◆ From: 219.91.56.27
→ olympuse:只要想就是估計自己以外的所以是n-1
→ olympuse:不偏(unbiased)在B.L.U.E定義裡...
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作者: rath (Alien) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Mon Mar 24 01:27:34 2003

※ 引述《OLMEC (gogogo)》之銘言：
: ※ 引述《OneofPieces (STILL LOVING YOU )》之銘言：
: :     簡單來說為何要用n-1
: :     譬如有10個數,由1,2,3...,9,0
: :     你要將他們隨便任意排成一個十個數自的號碼~~~
: :     第一個有10個,第二個有九個,一直到最後一個~~~有只有一個數字可以選,..
: :     那請問是不是只有九個地方的數字可以隨意選,而最後一個一定是剩下的那個數字~
: :     所以所謂的自由度就是這樣而來~~~~
: :     所以為 10 - 1 = 9,
: :     這是統計上說的,....
: 恩~~~
: 自由度大概知道了些
: 可是還是不清楚為什麼可以縮小誤差耶@@
: 可以解釋再清楚些嗎
  不偏性..

--
              렠     任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 210.85.79.68

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: andrew43 (我最愛狗了！) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Tue Mar 25 22:41:29 2003

※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
:              _ 2
:         Σ(X-x)
: s^2  = ------------
:           n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?

我們老師這樣說

如果是sample，就用n-1
是population就用n

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 210.202.161.44

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作者: amberliao (小寶貝) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Mar 27 16:54:16 2003

※ 引述《andrew43 (我最愛狗了！)》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: :              _ 2
: :         Σ(X-x)
: : s^2  = ------------
: :           n-1
: : 請問為什麼要用 n-1 阿?
: 我們老師這樣說
: 如果是sample，就用n-1
: 是population就用n

  n-1  代表就是自由度...

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 140.117.204.80

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作者: spicy3 (330越野踐行呀!) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Mar 27 17:06:15 2003

根據統計的簡單觀點，
因為是抽一部分的樣本估計整個母體。
所以以n-1了表示變動幅度會變大。


我想，對於高中生這樣解釋就好了。
不需用數統解釋吧。




※ 引述《amberliao (小寶貝)》之銘言：
: ※ 引述《andrew43 (我最愛狗了！)》之銘言：
: : 我們老師這樣說
: : 如果是sample，就用n-1
: : 是population就用n
:   n-1  代表就是自由度...

--
所謂的氛圍呢，我猜他不過是在粉紅色的季節裡輕輕地呢喃。
就像是販賣一整季春天的奶油棒與孩童們的聲音，
噗噗地送入整個痲痺的腦袋裡。




--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 140.119.73.88

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作者: weisor (有一天 如果...) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Apr 24 10:01:38 2003

※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
:              _ 2
:         Σ(X-x)
: s^2  = ------------
:           n-1
: 請問為什麼要用 n-1 阿?

樣本空間 S, |S| = N

X 為 S 的一個子集合(一組抽樣結果), |X| = n
_
x = ΣX / n

為使 s^2 的 期望值 為 σ^2

σ^2 = Σ(S-μ)^2 / N

μ = ΣS / N
              _
∴ s^2 = Σ(X-x)^2 / (n-1)

=> E(s^2) = σ^2

ps 不過我怎麼推 都只是近似而已 沒有相等說

====================================================================

也就是說從 N 個元素中  任意取 n 個樣本 以 s^2 計算所得的 樣本標準差

平均會近似於(等於?) 母體標準差 σ^2

====================================================================

(n-1)E(s^2) = E( E(X^2) - n[E(X)]^2 )
            = E[E(X^2)] - nE( [E(X)]^2 )
            = nE(S^2) - n( Var(E[X]) + (E[E(X)])^2 )

E(S^2) = Var(S) + E(S)^2 = σ^2 + μ^2
                                                                ?
Var(E[X]) = Var( ΣX / n ) = Var( ΣX ) / n^2 = Σ Var(X) / n^2 = Var(S) / n^2
                                                                = σ^2 / n^2
E[E(X)]^2 = E(S)^2 = μ^2

∴ (n-1)E(S^2) = n(σ^2 + μ^2) - n(σ^2 / n^2 + μ^2) = (n-1)σ^2

∴ E(S^2) = σ^2  故得証 #

=====================================================================

不過我推一推 都只得到 E(S^2) = N*σ^2 /(N-1) -> σ^2


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 140.112.243.218

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: rath (鑽研。) 看板: tutor
標題: [轉錄]Re: 請問標準差公式
時間: Thu Apr 24 11:57:14 2003

※ [本文轉錄自 Math 看板]

作者: plover (㊣騎牆自爆派㊣) 看板: Math
標題: Re: 請問標準差公式
時間: Tue Apr 22 23:59:31 2003

※ 引述《ACUMENEYE (信念)》之銘言：
: 一樣本 X1,X2,X3......Xn,標準差公式：
:               i=n     _
: 為何是 (1/n-1)Σ ( Xi-X )^2
:               i=1
: 而不是            i=n     _
:            (1/ n )Σ ( Xi-X )^2  呢？
:                   i=1
: 只記的老師說跟自由度有關...@@@

應該是說無偏性啦。
                               _
假設現在 S^2 取成 = 1/n Σ(X_i-X)^2             (index 不打了，you know)
然後我們來算 S^2 的期望值：
（很自然的想法，這個期望值應該是 σ^2）

可是算出來，卻發現說 E[S^2] = (n-1)/n σ^2.
那該怎麼取 S^2 才會產生 E[S^2] = σ^2 漂亮的結果呢？
就把 1/n 改成 1/(n-1) 就行了：）

--
                       ∞
  3.30 Definition  e = Σ  1/n!
                       n=0

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 140.112.247.33

--
              렠     任思緒飛揚，隨筆而至ꄊ
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw) 
◆ From: 210.85.79.106

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: uouo (小優兒活力普查員) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 樣本標準差為什麼除以(n-1)
時間: Thu Apr 24 12:09:52 2003

※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: ※ 引述《weisor (有一天 如果...)》之銘言：
: :              _ 2
: :         Σ(X-x)
: : s^2  = ------------
: :           n-1
: : 請問為什麼要用 n-1 阿?
: 樣本空間 S, |S| = N
: X 為 S 的一個子集合(一組抽樣結果), |X| = n
: _
: x = ΣX / n
: 為使 s^2 的 期望值 為 σ^2
: σ^2 = Σ(S-μ)^2 / N
: μ = ΣS / N
:               _
: ∴ s^2 = Σ(X-x)^2 / (n-1)
: => E(s^2) = σ^2
: ps 不過我怎麼推 都只是近似而已 沒有相等說
: ====================================================================
: 也就是說從 N 個元素中  任意取 n 個樣本 以 s^2 計算所得的 樣本標準差
: 平均會近似於(等於?) 母體標準差 σ^2
: ====================================================================
: (n-1)E(s^2) = E( E(X^2) - n[E(X)]^2 )
:             = E[E(X^2)] - nE( [E(X)]^2 )
:             = nE(S^2) - n( Var(E[X]) + (E[E(X)])^2 )
: E(S^2) = Var(S) + E(S)^2 = σ^2 + μ^2
:                                                                 ?
: Var(E[X]) = Var( ΣX / n ) = Var( ΣX ) / n^2 = Σ Var(X) / n^2 = Var(S) / n^2
:                                                                 = σ^2 / n^2
: E[E(X)]^2 = E(S)^2 = μ^2
: ∴ (n-1)E(S^2) = n(σ^2 + μ^2) - n(σ^2 / n^2 + μ^2) = (n-1)σ^2
: ∴ E(S^2) = σ^2  故得証 #
: =====================================================================
: 不過我推一推 都只得到 E(S^2) = N*σ^2 /(N-1) -> σ^2


    以直覺觀念去想  無論是變異數或標準差

    皆與自由度有相關性   當我們在算 N 個數之間的變異數

    當我們選擇其中之一當作基準時

    剩下的 N-1 的數也只有 N-1 個位子去選擇

    我只是很簡單的去想罷了

--
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◆ From: 210.85.83.234
→ Boutlaw:推一個,我也是這樣想