→ dsje:我們老師也是這麼教!! 推 140.112.25.160 09/02
→ FATTY2108:推 推 210.85.132.176 09/02
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作者: cloude (神風的清響聲) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 1 23:32:19 2003
※ 引述《jimmy31 (鯊魚)》之銘言：
: _ _
: lim 0.9 = 1 but 0.9 ≠ 1
: _
: 0.9 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + …
: = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …
: "≒"(9/10)÷[ 1－(1/10)] =1
公式是等號喔
: 最後一步的無窮等比級數和公式為近似值，而非絕對相等。
: _
: 因此，只能說0.9 的極限值為 1
這應該跟極限無關吧
那我來說個很補習班的解法好了
_ 9
0.9= ─=1 哈哈 好遜喔
9
其實要理解真的很抽象
就把它想像成0後面有無限多個9
如果你說他小於1的話 他後面永遠都有一個9補上
埃呀 怎麼哲學起來了
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 61.62.91.27
→ YICHANCHUNG:推.....本來就等於1 推 61.216.42.222 09/01
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作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 2 01:17:58 2003
※ 引述《chachalaca (磨刀霍霍向豬羊)》之銘言：
: 令 X=0.9 則 10X=9.9
: _ _
: 10X-X=9.9-0.9
: 9X=9
: X=1
: 以前老師這樣交
和你偷偷講 他教錯了 雖然答案是對的 可是教錯了
--
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◆ From: 210.85.78.20
→ doa2:雖然是錯誤的但是是個偷吃步 推 140.112.249.46 09/02
→ alexhung:真的嗎 我們老師也降教ㄝ 推 218.161.12.76 09/02
→ doa2:基本上並沒有0.a循環乘以10會變成a.a循環 推 140.112.249.46 09/02
→ bbbing:看成是0.99 9循環再*10是這樣沒錯啊... 推 61.64.217.169 09/02
→ aloke:為啥0.a循環乘以10 不是 a.a循環？ 推 218.165.97.6 09/02
→ Aronsele:極限不過就是無限靠近..當然不等於 推218.166.114.154 09/02
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作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 2 01:23:18 2003
哪有那麼複雜啊:)
_
0.9 = 9(1/10+1/100+1/1000+...+1/10^n+...)
1/10
= 9 ( ------ ) = 9 * (1/9) =1
1-1/10
or 可假設 a1=0.9 ,a2=0.09 , a3=0.009 , ...an=0.00...9(小數點後n位)
0.9(1-1/10^n)
Sn = ------------
1-1/10
0.9
lim Sn = ------- =1
n->oo 0.9
再不然就是用 δ-ε 用定義證明啦..
--
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◆ From: 210.85.78.20
→ doa2:我最討厭δ跟ε了..XD 推 140.112.249.46 09/02
→ dereklu:推~ 推 218.167.57.134 09/02
→ singing0:恩~我們高中老師好像是交第一種 ^^ 對阿=1 推 218.172.160.96 09/02
→ lancelet:這樣比較好, 不過只適用會微積分的人 XD 推218.166.130.218 09/03
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作者: vicamo (jfklasdj;flkas) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 06:21:01 2003
※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: 哪有那麼複雜啊:)
: 0.9
: lim Sn = ------- =1
: n->oo 0.9
: 再不然就是用 δ-ε 用定義證明啦..
............................................... |||
已知0.999999........為一個無限循環的小數
那麼a = 1 - 0.99999....顯然不會是一個負數, 先假設他是正數
對一個任意的正數我們都可以找到na > 1, 其中n是一個正整數, 此為阿機米得原理
那麼因此我們可以得到a = 1 - 0.99999.... > 1/n, 0.9999... = (n-1)/n
這是矛盾的結果，因為你找不到任何的n使得(n-1)/n等於0.99999....
所以原本的假設錯誤，a並不是正數，但a也不是負數
所以a = 0，1 = 0.9999.....
你提出的所謂lim, δ-ε之類的說法，有一件很重要的問題是
究竟你認為0.9999...是一個數列的收斂值還是一個固定數
如果你只是將0.9999當成sigma(9*0.1^n)
那麼你只是在陳述這個數列的收斂值趨近於1的這項事實
無關乎是否0.9999....這個'數'是否等於1的這個討論方向
又或者你可能要說數列收斂不過是用來表達實數的另外一種方法
那麼就會說這個收斂值僅僅是無限靠近而不相等的結果
可是反問一句, 實數系中若0.9999.... != 1
請問 (0.9999..... + 1)/2 = ?
--
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╰╰╮╯╔║╚╗║╰║║║║║║║║║║║╰║║o00o
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◆ From: 140.112.3.41
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作者: vicamo (jfklasdj;flkas) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 06:31:37 2003
※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: 哪有那麼複雜啊:)
: _
: 0.9 = 9(1/10+1/100+1/1000+...+1/10^n+...)
: 1/10
: = 9 ( ------ ) = 9 * (1/9) =1
: 1-1/10
另外關於這一點
上面有人提到10*0.9999... != 9.99999...的這件事
那麼請問這個無窮幾何級數總和的公式又是從哪來的呢？
--
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◆ From: 140.112.3.41
※ 編輯: vicamo 來自: 140.112.3.41 (09/08 06:46)
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作者: XMARTY (誰來教我英文啊...) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 11:18:55 2003
※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: ※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: : 哪有那麼複雜啊:)
: : _
: : 0.9 = 9(1/10+1/100+1/1000+...+1/10^n+...)
1/10 ←---- 不應該是1/10
= 9 ( ------ ) = 9 * (1/9) =1
1-1/10
其實上面這個真的有一點問題..
其實也不用特別分成9和1/10啦.
_
0.9 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +......
0.9 (1 - 0.1^n)
= ------------------ 只是高中在算無窮級數的時候 我們會把後面那0.1^n
1 - 0.1
視為0
所以 _
我們只能說 0.9 在 n 趨近無限大時 趨近於1
他永遠不會是1的
因為 他離1永遠有一個極小極小的距離存在
: 另外關於這一點
: 上面有人提到10*0.9999... != 9.99999...的這件事
: 那麼請問這個無窮幾何級數總和的公式又是從哪來的呢？
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.112.247.36
→ vicamo:什麼叫做"0.9999....."? 推 140.112.7.11 09/08
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 12:54:44 2003
you are right
_
我把0.9看成一組數列
所以才有最後收斂到1的結果
理由是如果一組數列是收斂的 ，而其最後一項卻不等於1..?
這再討論極限上就會發生很多的問題
_
另 實數的領域中 是否 0.9 和 1 恆相等
在數線上，明顯得只有無限地逼近1
這就要看從哪個角度來看了
另外也提供一各式子，大家可以try看看
_
把 2用 2 來做長除法， 當整數位為0的時候，可以一直除下去..變成 2/2 = 0.9
實數還沒學懂 野人獻曝罷了
※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: ............................................... |||
: 已知0.999999........為一個無限循環的小數
: 那麼a = 1 - 0.99999....顯然不會是一個負數, 先假設他是正數
: 對一個任意的正數我們都可以找到na > 1, 其中n是一個正整數, 此為阿機米得原理
: 那麼因此我們可以得到a = 1 - 0.99999.... > 1/n, 0.9999... = (n-1)/n
: 這是矛盾的結果，因為你找不到任何的n使得(n-1)/n等於0.99999....
: 所以原本的假設錯誤，a並不是正數，但a也不是負數
: 所以a = 0，1 = 0.9999.....
: 你提出的所謂lim, δ-ε之類的說法，有一件很重要的問題是
: 究竟你認為0.9999...是一個數列的收斂值還是一個固定數
: 如果你只是將0.9999當成sigma(9*0.1^n)
: 那麼你只是在陳述這個數列的收斂值趨近於1的這項事實
: 無關乎是否0.9999....這個'數'是否等於1的這個討論方向
: 又或者你可能要說數列收斂不過是用來表達實數的另外一種方法
: 那麼就會說這個收斂值僅僅是無限靠近而不相等的結果
: 可是反問一句, 實數系中若0.9999.... != 1
: 請問 (0.9999..... + 1)/2 = ?
--
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◆ From: 218.184.82.131
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作者: amadias (阿媽的鴨子) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 18:43:15 2003
※ 引述《wzch (帥到攪豬屎)》之銘言：
: 應該說0.9不是1...但0.9等於1....
???
既然不是1又為何等於1
--
缺資源的來這看看吧
http://mail.kitty.cc/?sref=1062611904-kitty-cc
http://163.29.253.213/59.htm
--
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◆ From: 218.166.51.188
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作者: canaries (未了) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 21:27:58 2003
※ 引述《XMARTY (誰來教我英文啊...)》之銘言：
: ※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: 1/10 ←---- 不應該是1/10
: = 9 ( ------ ) = 9 * (1/9) =1
: 1-1/10
: 其實上面這個真的有一點問題..
: 其實也不用特別分成9和1/10啦.
: _
: 0.9 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +......
: 0.9 (1 - 0.1^n)
: = ------------------ 只是高中在算無窮級數的時候 我們會把後面那0.1^n
: 1 - 0.1
: 視為0
: 所以 _
: 我們只能說 0.9 在 n 趨近無限大時 趨近於1
_ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
0.9 本身沒有 n 的存在，
你指的應該是，若是沒有循環的小數，
0.99.....9 小數點後面 n 個 9 ，
這個數列在 n 趨近無限大時，趨近於 1
然而在趨近無窮大時， _
這個數列就是趨近於 0.9 啊！
_
0.9 = 1
沒有趨近或近似的問題，
只有在談論上面那個有限小數的數列才會有近似和趨近的問題。
: 他永遠不會是1的
: 因為 他離1永遠有一個極小極小的距離存在
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
就因為他是無限小數，所以沒有距離。
: : 另外關於這一點
: : 上面有人提到10*0.9999... != 9.99999...的這件事
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
10*0.9999... = 9.99999...
這件事是成立的。
只要等號兩邊的極限值都存在，
某數列乘以倍數的極限 等於 其極限乘以倍數。
: : 那麼請問這個無窮幾何級數總和的公式又是從哪來的呢？
_
我覺得大家可以想想，我們都知道 1/3=0.3，
_
那三倍之後，不就是 1=0.9。
一樣，因為極限存在，所以可以兩邊同時乘以三倍。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 218.166.75.196
※ 編輯: canaries 來自: 218.166.75.196 (09/08 21:33)
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Lwms (制服加分) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 23:05:15 2003
※ 引述《XMARTY (誰來教我英文啊...)》之銘言：
: 視為0
: 所以 _
: 我們只能說 0.9 在 n 趨近無限大時 趨近於1
: 他永遠不會是1的
: 因為 他離1永遠有一個極小極小的距離存在
無窮小數是實數的表示法
我們定無窮小數所代表的的實數為 無窮小數的級數和
而級數和是一個極限值
{ 1/n } 這個數列不管 n 代多大 都不會是 0, 但是它的極限值是 0
又如同 導數也是一個極限值
我們從來不說 f(x) = x^2 在 x = 0 的導數是很接近 0 而不是 0
雖然極限的確是可能讓兩者不相等 但是極限值跟這件事情又是兩回事
x = 0.99999 ... 9 ( n 個 9 ) 不論 n 多大, x 的確都不會是 1
_
但是這和 0.9 = 1 並沒有違背
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.112.30.67
→ hollowyear:這個厲害 推 218.175.27.213 09/08
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: doa2 (腰圍多了一吋..XD) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 8 23:15:20 2003
※ 引述《Lwms (制服加分)》之銘言：
: ※ 引述《XMARTY (誰來教我英文啊...)》之銘言：
: : 視為0
: : 所以 _
: : 我們只能說 0.9 在 n 趨近無限大時 趨近於1
: : 他永遠不會是1的
: : 因為 他離1永遠有一個極小極小的距離存在
: 無窮小數是實數的表示法
: 我們定無窮小數所代表的的實數為 無窮小數的級數和
: 而級數和是一個極限值
: { 1/n } 這個數列不管 n 代多大 都不會是 0, 但是它的極限值是 0
: 又如同 導數也是一個極限值
: 我們從來不說 f(x) = x^2 在 x = 0 的導數是很接近 0 而不是 0
: 雖然極限的確是可能讓兩者不相等 但是極限值跟這件事情又是兩回事
: x = 0.99999 ... 9 ( n 個 9 ) 不論 n 多大, x 的確都不會是 1
: _
: 但是這和 0.9 = 1 並沒有違背
我有另一個想法..
我記得循環小數是歸類在"有理數"的
也就是可以表示成a/b a,b屬於整數
_
除了a=b之外有人可以找到a/b=0.9嗎?
或者說循環小數應該是為了由分數變成小數時的產物
_
比如1/3=0.3
_
還是要說1/3>0.3 ?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.112.249.46
※ 編輯: doa2 來自: 140.112.249.46 (09/08 23:20)
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: handicap (韜光養晦) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 03:00:47 2003
※ 引述《canaries (未了)》之銘言：
: ※ 引述《XMARTY (誰來教我英文啊...)》之銘言：
: : 1/10 ←---- 不應該是1/10
: : = 9 ( ------ ) = 9 * (1/9) =1
: : 1-1/10
: : 其實上面這個真的有一點問題..
: : 其實也不用特別分成9和1/10啦.
: : _
: : 0.9 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +......
: : 0.9 (1 - 0.1^n)
: : = ------------------ 只是高中在算無窮級數的時候 我們會把後面那0.1^n
: : 1 - 0.1
: : 視為0
: : 所以 _
: : 我們只能說 0.9 在 n 趨近無限大時 趨近於1
: _ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 0.9 本身沒有 n 的存在，
: 你指的應該是，若是沒有循環的小數，
: 0.99.....9 小數點後面 n 個 9 ，
: 這個數列在 n 趨近無限大時，趨近於 1
: 然而在趨近無窮大時， _
: 這個數列就是趨近於 0.9 啊！
: _
: 0.9 = 1
: 沒有趨近或近似的問題，
: 只有在談論上面那個有限小數的數列才會有近似和趨近的問題。
canaries已經講解得非常清楚!!
_ _
0.9 = 1.0
我在此補充一點點, (補充太多就會自曝其短了 XD)
每一個實數都可以表示成十進位小數 (有限小數 or 無限小數)
而有限小數則都會有兩種可能的表示法.
_
例： 0.89 = 0.889
欲知詳情, 可以參閱「分析學」方面的書籍,
我印象中下面這本書的第一章有提到. (因為只唸完第一章 XD)
Tom Apostol, Mathematical Analysis.
: : 他永遠不會是1的
: : 因為 他離1永遠有一個極小極小的距離存在
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 就因為他是無限小數，所以沒有距離。
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 10*0.9999... = 9.99999...
: 這件事是成立的。
: 只要等號兩邊的極限值都存在，
: 某數列乘以倍數的極限 等於 其極限乘以倍數。
: _
: 我覺得大家可以想想，我們都知道 1/3=0.3，
: _
: 那三倍之後，不就是 1=0.9。
: 一樣，因為極限存在，所以可以兩邊同時乘以三倍。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 61.62.100.48
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作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 02:56:53 2003
※ 引述《doa2 (腰圍多了一吋..XD)》之銘言：
: ※ 引述《Lwms (制服加分)》之銘言：
: : 無窮小數是實數的表示法
: : 我們定無窮小數所代表的的實數為 無窮小數的級數和
: : 而級數和是一個極限值
: : { 1/n } 這個數列不管 n 代多大 都不會是 0, 但是它的極限值是 0
: : 又如同 導數也是一個極限值
: : 我們從來不說 f(x) = x^2 在 x = 0 的導數是很接近 0 而不是 0
: : 雖然極限的確是可能讓兩者不相等 但是極限值跟這件事情又是兩回事
: : x = 0.99999 ... 9 ( n 個 9 ) 不論 n 多大, x 的確都不會是 1
: : _
: : 但是這和 0.9 = 1 並沒有違背
: 我有另一個想法..
: 我記得循環小數是歸類在"有理數"的
: 也就是可以表示成a/b a,b屬於整數
: _
: 除了a=b之外有人可以找到a/b=0.9嗎?
: 或者說循環小數應該是為了由分數變成小數時的產物
: _
: 比如1/3=0.3
: _
: 還是要說1/3>0.3 ?
看你是要討論數列極限還是實數
_
0.9 = 1 是毫無疑問的
--
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 210.85.78.122
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 03:02:08 2003
※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: ※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: : 哪有那麼複雜啊:)
: : _
: : 0.9 = 9(1/10+1/100+1/1000+...+1/10^n+...)
: : 1/10
: : = 9 ( ------ ) = 9 * (1/9) =1
: : 1-1/10
: 另外關於這一點
: 上面有人提到10*0.9999... != 9.99999...的這件事
: 那麼請問這個無窮幾何級數總和的公式又是從哪來的呢？
a(1-r^n)
a+ar+ar^2+...+ar^(n-1) = ---------
1-r
when -1<r<1 ,lim (r^n) = 0
n->oo
S=a+ar+ar^2+...+ar^(n-1)+...
thus S=limSn=a/(1-r)
n->oo
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◆ From: 210.85.78.122
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作者: vicamo (jfklasdj;flkas) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 21:55:59 2003
※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: ※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: : 另外關於這一點
: : 上面有人提到10*0.9999... != 9.99999...的這件事
: : 那麼請問這個無窮幾何級數總和的公式又是從哪來的呢？
: a(1-r^n)
: a+ar+ar^2+...+ar^(n-1) = ---------
: 1-r
: when -1<r<1 ,lim (r^n) = 0
: n->oo
: S=a+ar+ar^2+...+ar^(n-1)+...
: thus S=limSn=a/(1-r)
: n->oo
抱歉我沒說好
在導出(1-r^n)/(1-r)的這個部分就涉及了一個
r*S = r*(1 + r + r^2 + ...) 的動作
如果承認了這個公式的正確性, 為什麼對10*0.9999... != 9.99999...有問題呢
這兩個動作明明就是等義的
--
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◆ From: 140.112.20.246
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: vicamo (jfklasdj;flkas) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 22:11:19 2003
※ 引述《doa2 (腰圍多了一吋..XD)》之銘言：
: 我有另一個想法..
: 我記得循環小數是歸類在"有理數"的
: 也就是可以表示成a/b a,b屬於整數
: _
: 除了a=b之外有人可以找到a/b=0.9嗎?
Q1: 為什麼要 a != b 呢?
: 或者說循環小數應該是為了由分數變成小數時的產物
: _
: 比如1/3=0.3
: _
: 還是要說1/3>0.3 ?
_
Q2: 1/3 = 0.3, 為什麼還有兩種選擇?
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◆ From: 140.112.20.246
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: doa2 (腰圍多了一吋..XD) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 22:41:09 2003
※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: ※ 引述《doa2 (腰圍多了一吋..XD)》之銘言：
: : 我有另一個想法..
: : 我記得循環小數是歸類在"有理數"的
: : 也就是可以表示成a/b a,b屬於整數
: : _
: : 除了a=b之外有人可以找到a/b=0.9嗎?
: Q1: 為什麼要 a != b 呢?
什麼意思..?
: : 或者說循環小數應該是為了由分數變成小數時的產物
: : _
: : 比如1/3=0.3
: : _
: : 還是要說1/3>0.3 ?
: _
: Q2: 1/3 = 0.3, 為什麼還有兩種選擇?
_
我是說照前面說0.9<1的話
_
0.3不就小於1/3..?
--
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◆ From: 140.112.249.46
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 23:04:48 2003
※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: ※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: : a(1-r^n)
: : a+ar+ar^2+...+ar^(n-1) = ---------
: : 1-r
: : when -1<r<1 ,lim (r^n) = 0
: : n->oo
: : S=a+ar+ar^2+...+ar^(n-1)+...
: : thus S=limSn=a/(1-r)
: : n->oo
: 抱歉我沒說好
: 在導出(1-r^n)/(1-r)的這個部分就涉及了一個
: r*S = r*(1 + r + r^2 + ...) 的動作
: 如果承認了這個公式的正確性, 為什麼對10*0.9999... != 9.99999...有問題呢
: 這兩個動作明明就是等義的
沒有等義喔
請參考微積分極限的定義和其運算的相關定義..
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◆ From: 210.85.78.122
→ vicamo:是哪裡違背了極限定義與運算? 推 140.112.20.246 09/10
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作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Tue Sep 9 23:06:04 2003
※ 引述《vicamo (jfklasdj;flkas)》之銘言：
: ※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: : a(1-r^n)
: : a+ar+ar^2+...+ar^(n-1) = ---------
: : 1-r
: : when -1<r<1 ,lim (r^n) = 0
: : n->oo
: : S=a+ar+ar^2+...+ar^(n-1)+...
: : thus S=limSn=a/(1-r)
: : n->oo
: 抱歉我沒說好
: 在導出(1-r^n)/(1-r)的這個部分就涉及了一個
應該是 r*S=r*(1+t+r^2+...+r^(n-1))
: r*S = r*(1 + r + r^2 + ...) 的動作
: 如果承認了這個公式的正確性, 為什麼對10*0.9999... != 9.99999...有問題呢
: 這兩個動作明明就是等義的
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◆ From: 210.85.78.122
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作者: plover (Invariant Measures) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:00:21 2003
※ 引述《wzch (帥到攪豬屎)》之銘言：
: ※ 引述《jimmy31 (鯊魚)》之銘言：
: : _ _
: : lim 0.9 = 1 but 0.9 ≠ 1
_ _
這邊在亂來，0.9 = 1, lim 0.9 = lim 1 = 1.
n->oo n->oo
: : _
: : 0.9 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + …
: : = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …
: : "≒"(9/10)÷[ 1－(1/10)] =1
: : 最後一步的無窮等比級數和公式為近似值，而非絕對相等。
: : _
: : 因此，只能說0.9 的極限值為 1
: 我還是認為是1耶....
--
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◆ From: 140.112.247.33
→ doa2:根本不用n吧..哪來的n呀~? 推 140.112.249.46 09/10
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作者: plover (Invariant Measures) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:01:14 2003
※ 引述《joy (JOY)》之銘言：
: ※ 引述《wzch (帥到攪豬屎)》之銘言：
: : _ _
: : 應該說0.9不是1...但0.9等於1....
: 呵呵..感覺很像在繞口令..
形式上不是 1, 但是的確是等於 1.
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◆ From: 140.112.247.33
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作者: plover (Invariant Measures) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:05:17 2003
※ 引述《doa2 (腰圍多了一吋..XD)》之銘言：
: 我有另一個想法..
: 我記得循環小數是歸類在"有理數"的
這不是歸類 (definition)，而是須要嚴格的證明：
循環小數是有理數，有理數可以化成循環小數。
而處理循環小數，當然要有點極限的基礎。
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◆ From: 140.112.247.33
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作者: plover (Invariant Measures) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:12:03 2003
※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: you are right
: _
: 我把0.9看成一組數列
: 所以才有最後收斂到1的結果
: 理由是如果一組數列是收斂的 ，而其最後一項卻不等於1..?
: 這再討論極限上就會發生很多的問題
_
0.9 要看成一個實數，這是因為實數的完備性掛保證，使得 lim 0.99..9
n->oo
_
(n 個 9) 的極限值在 *實數* 上存在。總之，我們是用 0.9 這個好用的符號，
來當做極限值，至於 = 1, = 2, = ..., 則是我們後來要關心的問題。事實上，
_
0.9 = 1.
: _
: 另 實數的領域中 是否 0.9 和 1 恆相等
: 在數線上，明顯得只有無限地逼近1
: 這就要看從哪個角度來看了
: 另外也提供一各式子，大家可以try看看
: _
: 把 2用 2 來做長除法， 當整數位為0的時候，可以一直除下去..變成 2/2 = 0.9
: 實數還沒學懂 野人獻曝罷了
--
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◆ From: 140.112.247.33
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作者: plover (Invariant Measures) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:14:09 2003
※ 引述《plover (Invariant Measures)》之銘言：
: _ _
: 這邊在亂來，0.9 = 1, lim 0.9 = lim 1 = 1.
: n->oo n->oo
:
: → doa2:根本不用n吧..哪來的n呀~? 推 140.112.249.46 09/10
因為他寫 limit 的形式，所以就寫一下。不然寫 limit 缺個東西也很怪。
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◆ From: 140.112.247.33
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作者: doa2 (腰圍多了一吋..XD) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:17:46 2003
※ 引述《plover (Invariant Measures)》之銘言：
: ※ 引述《rath (遊戲人間)》之銘言：
: : you are right
: : _
: : 我把0.9看成一組數列
: : 所以才有最後收斂到1的結果
: : 理由是如果一組數列是收斂的 ，而其最後一項卻不等於1..?
: : 這再討論極限上就會發生很多的問題
: _
: 0.9 要看成一個實數，這是因為實數的完備性掛保證，使得 lim 0.99..9
: n->oo
: _
: (n 個 9) 的極限值在 *實數* 上存在。總之，我們是用 0.9 這個好用的符號，
: 來當做極限值，至於 = 1, = 2, = ..., 則是我們後來要關心的問題。事實上，
: _
: 0.9 = 1.
我的疑問是
_
最當初是把0.3定義成 lim 3/10+3/100+...3/10^n
n->oo
_
還是應該是1/3化成小數時 定義成0.3?
--
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◆ From: 140.112.249.46
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: ltlmouse () 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:31:04 2003
※ 引述《doa2 (腰圍多了一吋..XD)》之銘言：
: ※ 引述《plover (Invariant Measures)》之銘言：
: : _
: : 0.9 要看成一個實數，這是因為實數的完備性掛保證，使得 lim 0.99..9
: : n->oo
: : _
: : (n 個 9) 的極限值在 *實數* 上存在。總之，我們是用 0.9 這個好用的符號，
: : 來當做極限值，至於 = 1, = 2, = ..., 則是我們後來要關心的問題。事實上，
: : _
: : 0.9 = 1.
: 我的疑問是
: _
: 最當初是把0.3定義成 lim 3/10+3/100+...3/10^n
: n->oo
: _
: 還是應該是1/3化成小數時 定義成0.3?
都不是...
_
0.3= 1/3是很自然的事情
根本就不需要定義呀...
--
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◆ From: 140.112.25.144
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: plover (Invariant Measures) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Wed Sep 10 01:43:51 2003
※ 引述《doa2 (腰圍多了一吋..XD)》之銘言：
: 我的疑問是
: _
: 最當初是把0.3定義成 lim 3/10+3/100+...3/10^n
: n->oo
: _
: 還是應該是1/3化成小數時 定義成0.3?
當初是因為 1/3 化成小數時，發現 1/3 似乎是 0.333... 雖然看起來
0.333... = 1/3，不過這只是我們的直覺而已，在極限還沒有定義之前，
也是有人對 0.333... = 1/3 產生懷疑。
_
所以要說：1/3 化成小數成 0.3 是我們簡約掉一些東西（證明真的是相等，
不過沒有人會那麼閒啦），而不是單純的 1/3 = 0.333... 定義而已。
就好比大家用數學歸納法，總該不會前頭去證明數學歸納法是對的吧 :-)
--
┌─────────────────────────────────────┐
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 140.112.247.33
※ 編輯: plover 來自: 140.112.247.33 (09/10 01:44)
※ 編輯: plover 來自: 140.112.247.33 (09/10 01:45)
→ FATTY2108:學長無所不在 推 210.85.132.176 09/10
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作者: breman (...) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Thu Sep 11 08:44:31 2003
※ 引述《ltlmouse ()》之銘言：
: ※ 引述《doa2 (腰圍多了一吋..XD)》之銘言：
: : 我的疑問是
: : _
: : 最當初是把0.3定義成 lim 3/10+3/100+...3/10^n
: : n->oo
: : _
: : 還是應該是1/3化成小數時 定義成0.3?
: 都不是...
: _
: 0.3= 1/3是很自然的事情
: 根本就不需要定義呀...
_
1/3 = 0.3
左右式同乘3
_
所以 1 = 0.3
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 211.74.4.33
→ shinest:噗????? 推 61.222.144.156 09/11
→ callshine:在寫什麼.?? 推 140.112.250.48 09/11
→ FATTY2108:推~~寫的好.簡潔有力 推 210.85.132.176 09/11
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Friggachia (馥莉佳) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Sat Sep 20 22:07:46 2003
※ 引述《amadias (阿媽的鴨子)》之銘言：
: ※ 引述《wzch (帥到攪豬屎)》之銘言：
: : _ _
: : 應該說0.9不是1...但0.9等於1....
: ???
: 既然不是1又為何等於1
這就是open and close的意義了~~~~~~~ 修過高微應該都能體會吧
0.9循環 的確等於1 至於 "是不是"1
那要問原po者他對於 '是1'的定義跟'等於1'有什麼不一樣了?
--
想你 像一條單行道
我只能 無助的繼續向前.......
http://photo.pchome.com.tw/s01/betterfish/
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 218.34.13.29
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Friggachia (馥莉佳) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Sat Sep 20 22:10:27 2003
※ 引述《Lwms (制服加分)》之銘言：
: ※ 引述《XMARTY (誰來教我英文啊...)》之銘言：
: : 視為0
: : 所以 _
: : 我們只能說 0.9 在 n 趨近無限大時 趨近於1
: : 他永遠不會是1的
: : 因為 他離1永遠有一個極小極小的距離存在
: 無窮小數是實數的表示法
: 我們定無窮小數所代表的的實數為 無窮小數的級數和
: 而級數和是一個極限值
: { 1/n } 這個數列不管 n 代多大 都不會是 0, 但是它的極限值是 0
: 又如同 導數也是一個極限值
: 我們從來不說 f(x) = x^2 在 x = 0 的導數是很接近 0 而不是 0
: 雖然極限的確是可能讓兩者不相等 但是極限值跟這件事情又是兩回事
: x = 0.99999 ... 9 ( n 個 9 ) 不論 n 多大, x 的確都不會是 1
^^^^^^^^^^^^^^^^
沒錯 !!!只要n是實數(實數才可以比大小)
這裡是成立的!!
但是無窮已經不是實數的範圍 所以 =>
: _
: 但是這和 0.9 = 1 並沒有違背
p.s 這講法棒!! 我再補充一點心得 請指教!
--
想你 像一條單行道
我只能 無助的繼續向前.......
http://photo.pchome.com.tw/s01/betterfish/
--
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◆ From: 218.34.13.29
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Friggachia (馥莉佳) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Sat Sep 20 22:11:51 2003
※ 引述《handicap (韜光養晦)》之銘言：
: ※ 引述《canaries (未了)》之銘言：
: : _ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: : 0.9 本身沒有 n 的存在，
: : 你指的應該是，若是沒有循環的小數，
: : 0.99.....9 小數點後面 n 個 9 ，
: : 這個數列在 n 趨近無限大時，趨近於 1
: : 然而在趨近無窮大時， _
: : 這個數列就是趨近於 0.9 啊！
: : _
: : 0.9 = 1
: : 沒有趨近或近似的問題，
: : 只有在談論上面那個有限小數的數列才會有近似和趨近的問題。
: canaries已經講解得非常清楚!!
: _ _
: 0.9 = 1.0
: 我在此補充一點點, (補充太多就會自曝其短了 XD)
: 每一個實數都可以表示成十進位小數 (有限小數 or 無限小數)
: 而有限小數則都會有兩種可能的表示法.
: _
: 例： 0.89 = 0.889
: 欲知詳情, 可以參閱「分析學」方面的書籍,
: 我印象中下面這本書的第一章有提到. (因為只唸完第一章 XD)
這一本就是高等微積分囉~~~~~ 高微中的經典字典 :P
: Tom Apostol, Mathematical Analysis.
: : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
--
想你 像一條單行道
我只能 無助的繼續向前.......
http://photo.pchome.com.tw/s01/betterfish/
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.csie.ntu.edu.tw)
◆ From: 218.34.13.29
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: plancklin (北極熊) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Sun Sep 21 20:26:05 2003
※ 引述《Friggachia (馥莉佳)》之銘言：
: ※ 引述《handicap (韜光養晦)》之銘言：
: : canaries已經講解得非常清楚!!
: : _ _
: : 0.9 = 1.0
: : 我在此補充一點點, (補充太多就會自曝其短了 XD)
: : 每一個實數都可以表示成十進位小數 (有限小數 or 無限小數)
: : 而有限小數則都會有兩種可能的表示法.
: : _
: : 例： 0.89 = 0.889
: : 欲知詳情, 可以參閱「分析學」方面的書籍,
: : 我印象中下面這本書的第一章有提到. (因為只唸完第一章 XD)
: 這一本就是高等微積分囉~~~~~ 高微中的經典字典 :P
: : Tom Apostol, Mathematical Analysis.
0.9 循環 無限多的9 就是『等於』一
不需要其他太複雜的學問吧
我算給國中生看 他們都懂
三分之一等於多少？ 0.33333333 無限多的3 是吧
連寫三行的結果呢
三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
等號左邊相加 ＝ 右邊相加結果
1 ＝ 0.99999999999..........................
各位討論的網友 不會說 3個三分之一相加『不』等於 1吧
3個 三分之一相加等於 1 需要動用到高等微積分嗎？
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◆ From: 61.64.100.131
→ danial:很不錯的說法喔~ :) 推 61.58.166.91 09/21
→ jotsai:推~XD 推 218.166.35.252 09/21
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作者: oldfatfg (flrepljgrejkrmbtlr;bgrt) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Sun Sep 21 23:09:56 2003
※ 引述《plancklin (北極熊)》之銘言：
: ※ 引述《Friggachia (馥莉佳)》之銘言：
: : 這一本就是高等微積分囉~~~~~ 高微中的經典字典 :P
: 0.9 循環 無限多的9 就是『等於』一
: 不需要其他太複雜的學問吧
: 我算給國中生看 他們都懂
: 三分之一等於多少？ 0.33333333 無限多的3 是吧
: 連寫三行的結果呢
: 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: 等號左邊相加 ＝ 右邊相加結果
: 1 ＝ 0.99999999999..........................
: 各位討論的網友 不會說 3個三分之一相加『不』等於 1吧
: 3個 三分之一相加等於 1 需要動用到高等微積分嗎？
我有另外一個想法歐我自己覺得可以說明為什麼 無限多的9 就是『等於』一
假如你在算數學一個很簡單除法：1/1
假如你不是說一開始就回答等於一
你一開始假如不會算
先寫0.
那接下來是不是就是一直九下去了呢？？
大家懂我意思嗎？
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◆ From: 140.129.59.19
→ acha:非常的難懂.. 推 61.230.100.237 09/21
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作者: Aronsele ( ) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 22 16:39:53 2003
※ 引述《plancklin (北極熊)》之銘言：
: ※ 引述《Friggachia (馥莉佳)》之銘言：
: : 這一本就是高等微積分囉~~~~~ 高微中的經典字典 :P
: 0.9 循環 無限多的9 就是『等於』一
: 不需要其他太複雜的學問吧
: 我算給國中生看 他們都懂
: 三分之一等於多少？ 0.33333333 無限多的3 是吧
: 連寫三行的結果呢
: 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: 等號左邊相加 ＝ 右邊相加結果
: 1 ＝ 0.99999999999..........................
: 各位討論的網友 不會說 3個三分之一相加『不』等於 1吧
: 3個 三分之一相加等於 1 需要動用到高等微積分嗎？
我很想問清楚
請問是"等於",還是"趨近"
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◆ From: 140.112.16.7
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作者: rath (遊戲人間) 看板: tutor
標題: Re: [討論] 0.9(9循環)不等於 1 (有錯請指正)
時間: Mon Sep 22 16:41:24 2003
※ 引述《Aronsele ( )》之銘言：
: ※ 引述《plancklin (北極熊)》之銘言：
: : 0.9 循環 無限多的9 就是『等於』一
: : 不需要其他太複雜的學問吧
: : 我算給國中生看 他們都懂
: : 三分之一等於多少？ 0.33333333 無限多的3 是吧
: : 連寫三行的結果呢
: : 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: : 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: : 三分之一 = 0.33333333333333333333333333333333333333...........
: : 等號左邊相加 ＝ 右邊相加結果
: : 1 ＝ 0.99999999999..........................
: : 各位討論的網友 不會說 3個三分之一相加『不』等於 1吧
: : 3個 三分之一相加等於 1 需要動用到高等微積分嗎？
: 我很想問清楚
: 請問是"等於",還是"趨近"
反正 1 _
----- = 0.3 是不變的道理
3
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◆ From: 61.224.14.17