[解題] 數學問題

[fess (茼蒿)]

(1) 在三角形ABC中，A點坐標(4,-1)
    角B的角平分線eq:X-Y+1=0
    角C的角平分線eq:Y-1=0
    求直線BC的方程式


(2) 有50張3元郵票和30張5元郵票，用這些郵票能組成多少種不同的郵資？


(3) A，B，C三人進行乒乓球賽，兩人比賽一人觀戰，每賽一場後勝者繼續打，負者
    換另一個人上場，一值這樣進行下去，結果A勝了11場，B勝了9場，C勝了3場，那麼
    C總共打了幾場




(2)(3)題是小學競賽題，不過沒有正確答案，只有參考答案

想問問，大家的做法。感謝Orz

Ans:(2) 292種  (3) 13場

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◆ From: 222.157.6.157
推 vu3cj0su3:第二題最大300 扣除1.2.7.292.293.296.298.299
→ vu3cj0su3:上述8個不可能  共292個 XD
推 fess:了解，不過4也不行，而292應該可以
推 civiltensai:推一樓，不過應該是扣除1.2.4.7.293.296.298.299
推 vu3cj0su3:呵呵  我在耍笨
→ civiltensai:293.296.298.299可看成300-1.300-2.300-4.300-7
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作者: vu3cj0su3 (準台科大新鮮人XD) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Fri Jun 16 01:47:36 2006

※ 引述《fess (茼蒿)》之銘言：
: (1) 在三角形ABC中，A點坐標(4,-1)
:     角B的角平分線eq:X-Y+1=0
:     角C的角平分線eq:Y-1=0
:     求直線BC的方程式
: (2) 有50張3元郵票和30張5元郵票，用這些郵票能組成多少種不同的郵資？
: (3) A，B，C三人進行乒乓球賽，兩人比賽一人觀戰，每賽一場後勝者繼續打，負者
:     換另一個人上場，一值這樣進行下去，結果A勝了11場，B勝了9場，C勝了3場，那麼
:     C總共打了幾場
: (2)(3)題是小學競賽題，不過沒有正確答案，只有參考答案
: 想問問，大家的做法。感謝Orz
: Ans:(2) 292種  (3) 13場


第3題  試著用偷雞的方法

不妨假設A.B先比  贏的寫左邊 輸的寫右邊

A-B
A-C
A-B
A-C
A-B
A-C
A-B
A-C
A-B
A-C
A-B  以上11場讓A贏
C-A  因為A贏11場這場一定得輸  這場C贏
C-B
C-A  到這裡3場C贏
B-C  因為C贏3場這場B一定得贏
B-A
B-C
B-A
B-C
B-A
B-C
B-A
B-C  B贏9場  所以到這裡結束

故上面有C的加一加共13場


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◆ From: 59.112.213.204

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作者: LeonYo () 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Fri Jun 16 01:57:46 2006

※ 引述《fess (茼蒿)》之銘言：
: (1) 在三角形ABC中，A點坐標(4,-1)
:     角B的角平分線eq:X-Y+1=0
:     角C的角平分線eq:Y-1=0
:     求直線BC的方程式
A(4,-1)對x-y+1=0之對稱點為(-2,5)
       對y-1=0  之對稱點為(4,3)

以(-2,5), (4,3)做直線得x+3y-13=0

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◆ From: 219.68.20.52
推 yagaru:不好意思, 為何A對B角分線對稱點即為C, 可以請大大解釋一下
推 seedpig:因為他把它當作中垂線 (哈)
→ yagaru:我也是醬子想, 應該沒這麼容易吧, 還是有何特別性質
→ yagaru:後來畫圖有搞懂, 的確A對Y=1作對稱即為B, 但另一點尚在想
推 vu3cj0su3:應該沒錯  剛剛用暴力的方法弄出來!
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作者: vu3cj0su3 (準台科大新鮮人XD) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Fri Jun 16 18:01:34 2006

※ 引述《LeonYo ()》之銘言：
: ※ 引述《fess (茼蒿)》之銘言：
: : (1) 在三角形ABC中，A點坐標(4,-1)
: :     角B的角平分線eq:X-Y+1=0
: :     角C的角平分線eq:Y-1=0
: :     求直線BC的方程式
: A(4,-1)對x-y+1=0之對稱點為(-2,5)
:        對y-1=0  之對稱點為(4,3)
: 以(-2,5), (4,3)做直線得x+3y-13=0


我用了暴力方法  結果怪怪的

由已知的兩角平分線可求出內心I(0,1)

因為兩角平分線鈍角交角為135度

所以在三角形BIC中  可得1/2∠B+1/2∠C=45度

即∠B+∠C=90度  故∠A=90度

又假設三角形ABC內切圓切AB.AC於P.Q兩點

故可知四邊形PAQI為正方形  又對角線IA=根號(4-0)^2+(-1-1)^2=根號20

所以即可求出內切圓半徑為根號10

再來假設B(t,t+1) C(s,1) (利用直線參數式)

即可寫出直線AB方程式  (t+2)x-(t-4)y=5t+4
        直線AC方程式  2x-(s-4)y=s+4

再利用內心I到AB以及AC直線的距離=內切圓半徑即可

AB                      |-6t|
即    根號10 =   ---------------------
                  根號(t+2)^2+(t-4)^2

整理可得 2t^2+5t-25=0  解出t=5/2  or -5
帶入B點  可得(5/2,7/2) or (-5,-4)


AC                    |-2s|
即   根號10=  ---------------------
                根號2^2+(s-4)^2

整理可得 3s^2-40s+100=0  解出s=10/3 or 10
帶入C點  可得(10/3,1)  or  (10,1)

接著利用∠A=90度  可以知道B(5/2,7/2)和C(10,1)是一組
                          B(-5,-4)和C(10/3,1)是另一組
最後可解出兩條BC方程式 x+3y=13 or 3x-5y=5(這個檢驗出來是不合的)




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◆ From: 218.160.156.181
※ 編輯: vu3cj0su3       來自: 218.160.156.181      (06/16 18:10)
推 LeonYo:那麼我解的沒錯嘍??
推 seedpig:vu3cj0su3 你是高職重考生?!
→ seedpig:你滿厲害的說 看不出來
推 vu3cj0su3:呵呵~  閃一下好了  今年四技化工科榜首！
→ vu3cj0su3:不過有很多都是自己看書作題目自修
→ vu3cj0su3:像我們考四技不考排列組合機率 也得自己學！
→ vu3cj0su3:但空概  跟  矩陣  是一直補不起來阿 ><
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作者: LeonYo () 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Fri Jun 16 22:08:40 2006

※ 引述《LeonYo ()》之銘言：
※ 引述《fess (茼蒿)》之銘言：
: (1) 在三角形ABC中，A點坐標(4,-1)
:     角B的角平分線eq:X-Y+1=0
:     角C的角平分線eq:Y-1=0
:     求直線BC的方程式
A(4,-1)對x-y+1=0之對稱點為(-2,5)
       對y-1=0  之對稱點為(4,3)
以(-2,5), (4,3)做直線得x+3y-13=0
推 yagaru:不好意思, 為何A對B角分線對稱點即為C, 可以請大大解釋一下
→ yagaru:我也是醬子想, 應該沒這麼容易吧, 還是有何特別性質
→ yagaru:後來畫圖有搞懂, 的確A對Y=1作對稱即為B, 但另一點尚在想
不好意思，我又看了一遍才知道你在問什麼
我的解題過程中從沒說(-2,5)和(4,3)是三角形的頂點啊
事實上我也根本不知道三角形的頂點是什麼

我用的性質其實很簡單，不過就是「角平分線上任一點到兩邊等距離」
所以A點對角B和角C平分線的對稱點都在BC邊上

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◆ From: 59.105.56.207
推 seedpig:但這題不能這樣用，你畫一下就知道了。
→ seedpig:隨便畫個三角形 B的角平分線 大部分而言 不會是A點和C點
→ seedpig:的對稱線
推 LeonYo:我說過啦，我根本就不管BC點是什麼
推 LeonYo:我也根本就沒說我求的兩點是BC點........
推 LeonYo:我是說，我求的「兩點在BC邊上」，請把我的作法看清楚
推 seedpig:A點對角C的平分線 做對稱點 不一定落在 BC 線段上
→ seedpig:同理 A 對 角B的平分線 也不會在BC邊上
→ seedpig:那為何此題可以 那是 剛好 你看的懂我的訴求嗎??
→ seedpig:你現在畫個三角形 就知道我在說什麼
推 linkai1812:LeonYo大大講的沒錯..A的那個對稱點會在BC線段上....
→ linkai1812:seedpig大,你好像誤會意思囉....@@
推 vu3cj0su3:呃  聽了L大的解釋終於懂了你這樣做是對的 ^^
→ vu3cj0su3:想出這個想法才是真強者阿!!  推~
推 crazymars:j這個方法我也是前幾個禮拜才看到的 L大是強者xd
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作者: LeonYo () 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Fri Jun 16 23:25:43 2006

→ seedpig:隨便畫個三角形 B的角平分線 大部分而言 不會是A點和C點
→ seedpig:的對稱線
一、ΔABC中，∠B平分線，不一定是A點和C點的對稱軸。
    沒錯，我同意，我在解題的過程中也沒有提出這樣的說法，
    再者，我再次強調，我「並未聲明」我解出來的「兩點是頂點(B或C)」。
推 seedpig:A點對角C的平分線 做對稱點 不一定落在 BC 線段上
二、ΔABC中，A點對∠C平分線的對稱點不一定落在BC線段上。
    沒錯，但「A點對∠C平分線的對稱點必落在BC直線上」。證明如下:

    已知: ΔABC及∠B平分線L。
    求證: A對L的對稱點A'落在BC直線上。

    證明: 1.過A作直線K⊥L且交L於M。
          2.在K上取一點A'使得AM=A'M，且A，A'在M的異側。
          3.在ΔABM及ΔA'BM中，
            AM=A'M，∠AMB=∠A'MB=π/2，BM=BM
            ∴ΔABM全等於ΔA'BM
            故∠MBA=∠MBA'
          4.∵BM即∠B平分線L，∴∠MBC=∠MBA=∠MBA'
            又，A、C 在L的異側，A、A'也在L的異側，
            即，C、A'在L的同側，
            故A'在BC直線上。

→ seedpig:同理 A 對 角B的平分線 也不會在BC邊上
                             ^^^^^^是不是漏了對稱點三個字???
→ seedpig:那為何此題可以 那是 剛好 你看的懂我的訴求嗎??
                               ^^^^????我證明了這不是巧合
     試證: A'不一定在BC直線上。
→ seedpig:你現在畫個三角形 就知道我在說什麼
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◆ From: 59.105.56.207
推 seedpig:嗯，我錯了，我之前沒精準作圖。
→ seedpig:受教了。
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作者: sarty () 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Sat Jun 17 04:34:30 2006

: (3) A，B，C三人進行乒乓球賽，兩人比賽一人觀戰，每賽一場後勝者繼續打，負者
:     換另一個人上場，一值這樣進行下去，結果A勝了11場，B勝了9場，C勝了3場，那麼
:     C總共打了幾場
: (2)(3)題是小學競賽題，不過沒有正確答案，只有參考答案
: 想問問，大家的做法。感謝Orz
: Ans:(2) 292種  (3) 13場
  要輸的才下場, 簡單的說, 當觀眾的次數, 跟輸的次數是相同的 XD

  比賽總場次 11 +9 +3 = 23
  扣掉贏的場次 23 - 3 = 20
  剩下20場中 當觀眾跟輸的場次各一半
  輸的次數10
  參賽次數 10 + 3 = 13

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◆ From: 59.112.49.92

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作者: ccxxzz (qaz) 看板: tutor
標題: [解題] 數學問題
時間: Mon Jul 24 23:49:08 2006



  a,b,c為整數,若ab1c,則a1c或b1c




   此為單選的一個選項,請問要不要選 ?




                  謝謝

--
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◆ From: 59.104.152.147
推 DCT2:yes:Q
推 ltlmouse:你的1改用|比較恰當喔 這個是對的(而且應該是且)@@
推 wcl0304:不選 14|14, 但是7不整除14且2不整除14
推 wcl0304:...我再說什麼 7不整除14 ?..幫我修掉吧 (剛睡醒 抱歉了)
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作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 00:56:47 2006

※ 引述《ccxxzz (qaz)》之銘言：
:   a,b,c為整數,若ab1c,則a1c或b1c
ab|c <=> c = ab * k, k 為整數
所以
c = a * bk <=> a | c
且
c = b * ak <=> b | c

因此這個選項是對的

:    此為單選的一個選項,請問要不要選 ?
:                   謝謝

--
家教經驗談
http://irenepcc.dyndns.org/~mt/archives/dunst/07_tutor/index.php
要轉錄文章的人請注意三件事
1. 請註明出處, 2. 請保留簽名檔, 3. 請發個 mail 讓我知道

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◆ From: 203.73.73.158

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: Homoon (moon) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 01:25:36 2006

※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: ※ 引述《ccxxzz (qaz)》之銘言：
: :   a,b,c為整數,若ab1c,則a1c或b1c
: ab|c <=> c = ab * k, k 為整數
: 所以
: c = a * bk <=> a | c
: 且
: c = b * ak <=> b | c
: 因此這個選項是對的
: :    此為單選的一個選項,請問要不要選 ?
: :                   謝謝


如果它是單選...而其他選項都是錯的....

應該要選它...

不過我個人對那個"或"字覺得怪怪的


--
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◆ From: 61.231.52.143
推 ltlmouse:且對的話 或當然就對囉:Q
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 01:35:10 2006

※ 引述《Homoon (moon)》之銘言：
: ※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: : ab|c <=> c = ab * k, k 為整數
: : 所以
: : c = a * bk <=> a | c
: : 且
: : c = b * ak <=> b | c
: : 因此這個選項是對的
: 如果它是單選...而其他選項都是錯的....
: 應該要選它...
: 不過我個人對那個"或"字覺得怪怪的

我想, 用"或"並不會有問題
以真值表來說

and | T | F
----+---+---
 T  | T | F
----+---+---
 F  | F | F

 or | T | F
----+---+---
 T  | T | T
----+---+---
 F  | T | F

你會發現, 當 A and B 為 True 時, A or B 一定是 True
所以用"或", 並不會影響這個選項的正確性


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◆ From: 203.73.73.158

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: Homoon (moon) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 01:53:30 2006

※ 引述《vvbird (vv)》之銘言：
: ※ 引述《Homoon (moon)》之銘言：
: : 如果它是單選...而其他選項都是錯的....
: : 應該要選它...
: : 不過我個人對那個"或"字覺得怪怪的
: 我想, 用"或"並不會有問題
: 以真值表來說
: and | T | F
: ----+---+---
:  T  | T | F
: ----+---+---
:  F  | F | F
:  or | T | F
: ----+---+---
:  T  | T | T
: ----+---+---
:  F  | T | F
: 你會發現, 當 A and B 為 True 時, A or B 一定是 True
: 所以用"或", 並不會影響這個選項的正確性


邏輯的OR , 這答案是真值沒錯..

但是...

若 a*b |c  "則"  a|c 且b|c

用"或"這個感覺有點....

所以我才想... 如果其他選項是錯的...選這個答案是ok的..



萬一是多選題....  出現一個"a*b|c 則a|c 且b|c"

那兩個應該是不是就不該一起選@_@..



-----------------------------------

另外還有一個就是語意問題

看到"或" 我們會想到邏輯的OR

但是在中文來說.... 你或他

通常指擇一的意思.....



像是我們國高中......常會用到口語部份..

|X|>4

Ans :X>2 或 X<-2

這邊的或...就是二擇一...不能兩個同時存在

<<不過...我可能把這問題複雜化了XD ..哈哈..>>

--
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◆ From: 61.231.52.143
※ 編輯: Homoon          來自: 61.231.52.143        (07/25 01:59)
→ ltlmouse:看不出來有擇一的意思@@
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: LeonYo () 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 18:51:32 2006

※ 引述《Homoon (moon)》之銘言：
: 邏輯的OR , 這答案是真值沒錯..
: 但是...
: 若 a*b |c  "則"  a|c 且b|c
: 用"或"這個感覺有點....
: 所以我才想... 如果其他選項是錯的...選這個答案是ok的..
: 萬一是多選題....  出現一個"a*b|c 則a|c 且b|c"
: 那兩個應該是不是就不該一起選@_@..
兩個都選乃理所當然，對的就是對的

而且我覺得這種小問題也沒什麼好考慮的 @@"
: -----------------------------------
: 另外還有一個就是語意問題
: 看到"或" 我們會想到邏輯的OR
: 但是在中文來說.... 你或他
: 通常指擇一的意思.....
不單單是中文，英文甚至是其他語言可能都有這樣的成分在

我在某本微積分(原文書)看過，他特別把 or 拿出來強調

說課本裡的 or 用法和平常說話時的 or 不大一樣，

並沒有(或不一定有，我忘記原文是什麼)擇一的意思存在

: 像是我們國高中......常會用到口語部份..
: |X|>4
: Ans :X>2 或 X<-2
: 這邊的或...就是二擇一...不能兩個同時存在
: <<不過...我可能把這問題複雜化了XD ..哈哈..>>
其實我不大懂這裡在說什麼???

X>2 或 X<-2  就是一個集合呀@@?   或說是X>2和X<-2的聯集

為什麼要擇一，要擇一什麼??

--
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◆ From: 219.68.20.52

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 19:13:30 2006

※ 引述《LeonYo ()》之銘言：
: ※ 引述《Homoon (moon)》之銘言：
: : 像是我們國高中......常會用到口語部份..
: : |X|>4
: : Ans :X>2 或 X<-2
: : 這邊的或...就是二擇一...不能兩個同時存在
: : <<不過...我可能把這問題複雜化了XD ..哈哈..>>
: 其實我不大懂這裡在說什麼???
: X>2 或 X<-2  就是一個集合呀@@?   或說是X>2和X<-2的聯集
: 為什麼要擇一，要擇一什麼??

我想, 因為 Homoon 網友
把 or 解釋成 "要嘛是 A 不然就是 B" 了
所以他在口語上就把 X > 2 or X < -2 解釋成
"X 要嘛是大於 2 的數, 不然就是小於 -2 的數"
所以他才會說, 二者擇其一

不過, 這種口語的解釋方式
個人是很不建議在課堂上這樣子對學生解釋
尤其是身為老師, 在教學生時, 應該要嚴格定義自己的語句
用這種口語的方式, 雖然會讓學生覺得比較親切
可是, 不注意時, 極容易讓學生犯下定義不清的習慣

--
家教經驗談
http://irenepcc.dyndns.org/~mt/archives/dunst/07_tutor/index.php
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◆ From: 203.73.73.158

> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: snowmag (....M) 看板: tutor
標題: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 21:43:29 2006



三角形ABC中  (a+b+c)(b+c-a)=3bc  又a=根號3


則三角形ABC之外接圓半徑為?


謝謝各位大大的解答

--
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◆ From: 218.171.56.188
推 azalealover:答案是:1
→ azalealover:不知道對不對^^?
推 snowmag:有解法咩??能寫出來給我看一下咩...謝謝
推 BARGARYARLOO:先展開再整理  用餘弦可以看出是直角三角形
推 theoculus:直角???
→ kego:他不是直角三角形吧  右邊等式是3bc不是2bc啊
推 BARGARYARLOO:歹勢~~XD  用心算算錯了  XD
> -------------------------------------------------------------------------- <

作者: azalealover (令我又愛又恨獅獅) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 數學問題
時間: Tue Jul 25 21:50:49 2006

原式子展開 寫成a^2=b^2+c^2-bc

然後呢用餘弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA  (A是b c夾角)

然後就可以算出cosA=1/2  =>sinA= √3/2

再用a/sinA=2R  R是外接圓半徑

應該吧^^"
※ 引述《snowmag (....M)》之銘言：
: 三角形ABC中  (a+b+c)(b+c-a)=3bc  又a=根號3
: 則三角形ABC之外接圓半徑為?
: 謝謝各位大大的解答

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.243.45
推 kego:應該是標準的正確解法  我也是這樣解的
→ azalealover:三角形扯到外接圓八成離不開正弦定理..╮(﹋﹏﹌)╭..
推 snowmag:感謝各位大大...^__^