推 Dinjang:我以前學生也這樣加 1/2+1/2=2/4=1/2 移項一下 03/22 03:17
→ Dinjang:結果他做出 1/2=0 哈哈 很好玩 03/22 03:18
推 ckcson:你好兇 03/22 03:42
→ YHACOO:施主...先把定義搞清楚...你舉的例子是一樣的...恰巧而已 03/22 18:19
→ YHACOO:你不接受1個人分三個...卻接受世界上有三分之一人?? 03/22 18:20
推 yonex:child：就是要問為什麼要這樣定義呀 呵呵 這才有趣呀！ 03/24 09:40
→ yonex:child：我沒有接受1個人分三個 我沒有不接受分數 03/24 09:41
→ yonex:child：我質疑的是 分數的除法 我就是沒有先入為主的概念 03/24 09:42
→ yonex:child：才會看到某些人看不到的世界....牧童呀 你有哲學嗎？ 03/24 09:43
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 02:32:13 2006
※ 引述《fatcats (徵求想賺錢的夥伴)》之銘言：
: ※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: : l. 為什麼 0 不是自然數？ 她究竟哪裡『不自然』？
: 自然是指本來就存在的
: 既然說到數字~~那代表的量也必須是存在的~~
: 0是本來就"存在"的嗎??
: 0個蘋果!? 蘋果存在嗎??
: 如果這樣~~"沒有人"也是一個自然人了
child：好呀！ 你說存在才叫『自然』
這可是你說的喔....
我同意一個蘋果存在...
那請問...半個蘋果存不存在呢？
肥貓老師，我想你會同意半個蘋果的確存在於這個世界上...
每個老師都說我雞蛋裡挑骨頭，但願你不要這麼以為...
你用『存在』來解釋0的『不自然』！
卻造成了其它的矛盾，可見你的論調並不妥當...
請原諒我的無禮與自負.....
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◆ From: 203.67.107.200
※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/22 02:32)
→ YHACOO:半個蘋果就是不自然...蘋果天生只有大小之分 03/22 18:22
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作者: gwendless (望月無願) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 03:21:52 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: : 應該要從打擊率的定義下去看吧 打擊率是總安打數/總打擊次數
: : 不是每場打擊率的和
: : 所以...:p
: child：你先把我的問題搞清楚吧！
: 我捍衛的不是分數，我並不討厭他！
: 所以我接受 打擊率＝總安打數/總打擊次數
: 而我所要捍衛的是 "分數加法" 運算
: 我的 "分數加法" 不僅運算容易的多（不用通分），而且直觀。
那「分數」這個族群就很尷尬囉
因為你想想，約分通分這些算法正是為了「分數」這樣已經存在的東西而誕生的
你要用捍衛分數不通分加法的話，那可能要請你設計一套完全不同的分數表示方式
這樣才不會出現 1/2 + 1/2 = 2/4 = 1/2 的怪事:P，越加反而不變
你看看，相較之下 與其努力從分數制度去找尋分數直覺加法
倒不如從分數加法看看現有的「分數」們到底會不會乖乖聽你的話讓等式成立XD
: 數學家發明數學，為的是增進人類世界的便利...
: 那麼...當初數學家發明數學，為什麼不走我這條路....
: 我這條路也可以建構一套數學的世界...至少不會讓打擊率破百吧！
如果我今天只說了，打擊率兩天分別是2/3 跟1/2
你會算成3/5，沒錯吧?
問題是打席沒有考慮進來
2/3不表示今天打席只有三，1/2不表示今天打席只有2
你這種算法必須把樣本數完全回歸到原始狀態，再相加才加的出正確的結果
假如第一天六打席 第二天也是六打席 就會變成 4/6 + 3/6 = 7/12 (這是照你的算法)
好了 完全擰了，你要相信3/5還是7/12 ?
我相信你選擇後者，但是你有沒有想過機率的定義?
兩天的平均打擊率 光是相加就可以解決了?
粗心的Child阿.....不擴分怎麼能擬出真正的情況?
用擴分將兩天的機率正確的相加以後除以天數，這才是真正的機率算法!
我即使不知道打席，也一樣可以知道平均機率是多少!
而你必須將打席跟打數完完全全敲出來，這是多麼費力氣的原始方法!!
萬一今天面對的是樣本數龐大的資料，你還願意把樣本一樣樣加總起來嗎?
萬一今天的樣本是幾億人的飲食調查 那不是要算到傻眼XD
還有阿 上面說的，兩塊500G重的蛋糕跟兩塊1/2公斤蛋糕加起來 到底是一不一樣重 囧
: 哼！....別看我年紀小，我還可以舉出很多例子呢...
: ex：一輛車子兩小時走了50公里 又以三小時走了100公里
: 這五小時平均車速為何
: 50 100 50＋100 150
: ----- ＋ ------ ＝ ---------- ＝ ------
: 2 3 2＋3 5
: 我只想問....我可以捍衛我的數學嗎？
可以的，請你說一下這題的答案照你的算法算出來是多少呀~
光是捍衛算法而不求答案是不合科學精神的哦
就好像一個賣矛賣盾的商人一直說自己的兵器有多好用，卻自己不敢嘗試是一樣的道理
: 你們這些老師整天考試整天死背的那些東西，就真的比較合理嗎？
: 到現在還沒有人回答我分數相除，為何運算上要把除數顛倒後相乘？
好，你對基本整數的加減乘除運算的規則都懂了
為什麼發明乘法? 因為我們要快速地知道某一樣東西，增加數倍以後的數量
同理，除法是為了快速知道某東西 平分數份以後的數量
因為一旦脫離了整數範圍，以及餘數的考量以後，就會進入非整數的領域
非整數要用什麼表示來比較好? 當然，除了有限小數以外 就是分數了
這邊先把根號平方撇開不談，從更基一層的分數開始
因為一塊蛋糕分成三塊無法用整數表示，用小數會表不完，於是就有了1/3這樣東西
分數出來代表什麼意思?
我們把低年級的整數乘除法中，1除以3的作法用分數表示出來了! 而不是寫0餘1
這樣一塊蛋糕給三人吃，再也不用尷尬的把蛋糕剩下來
於是有了 1 ÷3 = 1/3 這種寫法
那根槓槓，就好像一個簡化過的除號一樣
這樣對於分數那根槓的存在就瞭解了吧?
這樣，當我們做 1/3 ×3 = 1 的時候，很理所當然可以導出一個逆運算數學式
那就是 1 ÷1/3 = 3
這時候就會浮現一個算式，1 ÷(1 ÷3)
一除一好辦，但是那個3要怎麼處理?
原本我拿一個圓積木，去塞一個圓坑，當然是只花「一塊積木」
但是當我把這塊積木先鋸成三等分，再回來塞，我就會變成花費「三塊積木」
於是乎，這個除數的分母越大，就會讓商數增加
分四塊再填回去，就會花費「四塊積木」
一直到分n塊再填回去，花費掉「n塊積木」
到這裡為止，你就知道為什麼除一個分數，分母要拉上來變乘的吧
如同加減擴號一樣，1 - (1 - 3) 要拆擴號的時候，你會變號
除法同理，因為是乘法的逆運算，所以分母之前的除號要變號成乘號
意即1 ÷(1 ÷3) = 1 ÷1 ×3
===以下是回下面那段文===
題目當然不會問，分給1/3個人每人會得多少，因為你絕對看不到現實有這種分法XD
Child，如果要你用1/3 ×3 = 1這式子出一題乘法應用題，你會怎麼出?
我想八九不離十，是3個人 每人各吃1/3塊蛋糕，總共吃掉多少塊蛋糕 類似這樣吧?
答案很明顯是一整個
你絕對不會把題目出成，1/3個人，每人吃三個蘋果，總共吃掉多少蘋果?
對吧
題目絕對不會這樣不合理。你拿了不合理的題目，來套一個純粹還只是算式的算式
這個算式還真是被你錯怪了一次呢~
算式它就只代表數字之間的聯繫，而不攙有人的五感六欲
不要拿一個被磨的凹凸不平的輪胎，來說圓周率不等於π
這麼做是把應該純粹的數學給歪化了，更違背了你的理想數學，不是嗎?
: ex：9個蘋果分給3個人 一個人可以得到3個蘋果 因為9/3＝3
: 那麼請問...
: 為什麼1個蘋果...分給『三分之一』個人，一個人卻可以得到3個呢？
: 這是哪門子的直觀？ 我拒絕接受這樣子的數學！
我接受這樣的數學，但是應用題這種東西牽扯到現實的條件
拿「分給1/3人」當做題目的似乎是child你自己
是你自己設立了你自己無法接受的應用題條件
以上。
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◆ From: 140.114.222.87
※ 編輯: gwendless 來自: 140.114.222.87 (03/22 03:32)
※ 編輯: gwendless 來自: 140.114.222.87 (03/22 03:44)
※ 編輯: gwendless 來自: 140.114.222.87 (03/22 03:52)
推 yonex:child：給我時間.我必須想一想..我還不認為已經認同你的主義 03/22 04:34
推 gwendless:OK 你有質疑也可以讓我知道我的不合理點O_O 03/23 00:00
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作者: fatcats (徵求想賺錢的夥伴) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 04:06:04 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: ※ 引述《fatcats (徵求想賺錢的夥伴)》之銘言：
: : 自然是指本來就存在的
: : 既然說到數字~~那代表的量也必須是存在的~~
: : 0是本來就"存在"的嗎??
: : 0個蘋果!? 蘋果存在嗎??
: : 如果這樣~~"沒有人"也是一個自然人了
: child：好呀！ 你說存在才叫『自然』
: 這可是你說的喔....
: 我同意一個蘋果存在...
: 那請問...半個蘋果存不存在呢？
: 肥貓老師，我想你會同意半個蘋果的確存在於這個世界上...
: 每個老師都說我雞蛋裡挑骨頭，但願你不要這麼以為...
: 你用『存在』來解釋0的『不自然』！
: 卻造成了其它的矛盾，可見你的論調並不妥當...
: 請原諒我的無禮與自負.....
"半個蘋果!?"
"非常好"
"那麼請問這裡有幾顆一半的蘋果呢??"
自然數是要表現一個量...
主要是要表達個體數目(不管型態的單一個體)
而不是表現他的型態
不曉得這樣的說法可以接受嗎? ^^
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◆ From: 219.71.247.248
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作者: gwendless (望月無願) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 03:32:07 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: l. 為什麼 0 不是自然數？ 她究竟哪裡『不自然』？
很古早的人阿，數字的概念就是整數
其他數的系統還沒有明顯的定義架構
但是從人類一開始會刻印樹痕，正字為五的時候
人類就對整數有了概念
所有的紀錄數字，都是1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ....
這樣下去
因為是人最原始的記數方式，是人在自然而然的狀態下首先構想出來的數字
因而叫自然數
(當然上面是我嘴砲的，但是我想child會接受)
: m. 雙曲線究竟是不是兩條拋物線的組合？
: 長的實在是有夠像？
不是的。
其實這些曲線最初並沒有這些名稱
我們只是單單把有到准軸跟焦點等距的軌跡稱為曲線a
把到兩焦點差距恆為常數的軌跡稱為曲線b
如果把兩條拋物線放在一起，你會取不出漸進線
如果把雙曲線拉掉一條 你會找不到準軸
這就是盲點阿XD
證明略 (逃)
: n. 一個大數，若是2的倍數，想必末位數是偶數
: 若是5的倍數，末位數非0即5，這也直觀....
: 只是....
: 若為 3 的倍數 → 則各位數相加之和為 3 的倍數
: 若為 9 的倍數 → 則各位數相加之和為 9 的倍數
: 這就不直觀了...
: 又，11的倍數更是奇怪 （奇數位數字之和）－（偶數位數字之和）＝11k
: 這...這究竟怎麼一回事.....？
: o. 我很喜歡看棒球，陳金鋒6次打擊打出5支安打，打擊率是 5/6
: 下一場出賽 4次打擊打出2支安打，打擊率是 2/4
: 所以兩場比賽，打擊率是....
: 5 2 5＋2 7
: ----- ＋ ----- ＝ ------- ＝ -----
: 6 4 6＋4 10
: 沒錯呀！兩場總計10次打擊，共擊出7支安打...打擊率0.7
: 這種分數的加法（分子相加，分母相加）很好呀！
: 為什麼我這樣算分數的加法，學校同學都笑我！這很直觀呀！
: 在我看來...『通分』反而違反直覺！
: 你看看...陳金峰的打擊率5/6+2/4＝(10+6)/12＝16/12
: 哇～學校的數學可以讓人12次打擊轟出16個安打耶！ 打擊率破百？
: .....我可以捍衛我的數學嗎？
: p. 0.99999.....這個循環小數，究竟是不是恰好等於1，還是極限等於1
: 還是簡直就是1....但不exact等於1？
極限等於一
有想到疑點再往下問吧
: q. 高三數學有教極限與導數...（當然並非ε-δology）
: y＝f(x)
: dy
: y的導數存在，也就是說 f'(x)＝ ------， 當Δx→0時 則Δy→0
: dx
: 導數究竟是不是兩個微小量的比呢？
: 為什麼這時候分子分母簡直都是0， 0/0 卻有意義，並且算得出值來？
: 單獨去看...分子分母，他們是不是 0 呢？
: 如果我引入兩個新變數，並且都很小....就也叫 dx 和 dy 好了...
: 那麼這兩個新變數的比例，會不會等於導數呢？
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◆ From: 140.114.222.87
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 04:23:45 2006
※ 引述《fatcats (徵求想賺錢的夥伴)》之銘言：
: ※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: : child：好呀！ 你說存在才叫『自然』
: : 這可是你說的喔....
: : 我同意一個蘋果存在...
: : 那請問...半個蘋果存不存在呢？
: : 肥貓老師，我想你會同意半個蘋果的確存在於這個世界上...
: : 每個老師都說我雞蛋裡挑骨頭，但願你不要這麼以為...
: : 你用『存在』來解釋0的『不自然』！
: : 卻造成了其它的矛盾，可見你的論調並不妥當...
: : 請原諒我的無禮與自負.....
: "半個蘋果!?"
: "非常好"
: "那麼請問這裡有幾顆一半的蘋果呢??"
: 自然數是要表現一個量...
: 主要是要表達個體數目(不管型態的單一個體)
: 而不是表現他的型態
: 不曉得這樣的說法可以接受嗎? ^^
child：你講這個玄之又玄
什麼"這裡有幾顆一半的蘋果"
我聽不懂這些...
我只知道....
肥貓老師你用『0是不存在』來解釋『0並非自然數』...我覺得納悶
半個蘋果存在，而1/2卻不是自然數，而我也接受了1/2不是自然數....
（看不見，但他依然存在....請別覺得荒謬，就是因為荒謬，所以我深信不疑）
我知道 0 非自然數已經是公認的事實，也沒有任何反駁的客觀條件...
只是我想要知道的是....為何這樣定義的『理由』
我相信數學家定義物件態度，是不會傾向哲學家那種存在主義的論調...
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◆ From: 203.67.107.200
推 fatcats:如果你不知道"它"是蘋果...你該怎麼定義"半個"... 03/22 05:28
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 07:45:35 2006
: : p. 0.99999.....這個循環小數，究竟是不是恰好等於1，還是極限等於1
: : 還是簡直就是1....但不exact等於1？
: 這和dx(無窮小)的概念有一點點像
: 無窮小的概念是:
: dx不等於0 但dx要多小就有多小
: 0.9999...這個數也可仿照上面 它有兩個特徵:
: 1). 0.9999....要多接近1就多接近1
: 2). 0.9999....不等於1
child：各位老師，
0.99999.....這個循環小數，
究竟是不是恰好等於1，還是極限等於1，還是簡直就是1，但不exact等於1？
----------------------------
aack： dx不等於0 但dx要多小就有多小...
0.9999...這個數也可仿照上面 它有兩個特徵
1). 0.9999....要多接近1就多接近1
2). 0.9999....不等於1
----------------------------
waterworld0：是的，0.9999....＝1， 但是那個循環小數，本身就有極限的概念
----------------------------
gwendless：0.9999.....這個數的『極限』等於 1
----------------------------
child：老師們，我又要無禮了，
各位的意見...在我的critical viewpoint下並不完全相同，
aack和gwendless老師認為該循環小數『極限』等於1
現在的渾沌在於：
0.999...這個值的『極限等於1』，意思就是『並非exactly等於1囉！』
雖然說要多近有多近啦～～～....
（好吧！我能暫時接受這個『要多近有多近』，
畢竟我只是個child，沒學過ε-δology）
waterworld0老師說這個值exactly等於1，『但是有極限的概念？！』
就那句引號內的話，就請恕我無法接受了......
我這個死小孩只想知道一個明確的答案：是1，或非1！。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
aack和gwendless老師選擇『否』，waterworld0老師選擇『是』
（我假裝沒看到waterworld0老師後面多說的那句話）
OK，現在問題的答案有所分歧了...
我要投給『非1』一票....但卻不是用aack和gwendless老師們的論調。
我要做一件大膽的事情！ _
我將使用『數學歸納法』證明：0.999...＝0.9＜1 （不含等於）
只要我能證明此命題為真，根據三一律，
我就可以確切的回答 0.999...≠1 （也就是完全不等於）
pf：
令 A_n 代表小數點後面有 n 個 9 且 此數小於1的敘述
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
i 當 n＝1時 0.9＜1 所以A_1成立
ii 假設 n＝k 成立，也就是假設 A_k 成立
0.9999......99 ＜1 成立
｛ k個9 ｝
iii 則當 n＝k+1時
0.9999......999＜1 成立
｛ k+1個9 ｝
_
根據數學歸納法原理，對於所有自然數 n≧1，A_n成立，因此0.9＜1
Q.E.D.
_ _
證完0.9＜1，很快的我利用三一律，順理成章的得到0.9≠1
過程中我完全沒扯到極限，我討厭那個概念...太人工、匠氣味太重了
當然，這不只是因為我個人喜好與情緒的理由
我的答案裡面不要有極限！
只想知道一個明確的答案：是1，或非1！
因此我選擇了這條....自認最輕快而明亮的道路。
------------------------
child：或許我錯了....但是你必須說服我！
（我的答案裡面不要有極限！只想知道一個明確的答案：是1，或非1！）
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
我是根據 kh749 老師所教的數學歸納法精神與程序....
（雖然他沒有回答：為何這個程序要叫數學歸納法！）
yonex老師休息太久了，他上次整合性的答案只回答到第 j 題...
我雖然是個任性的小孩，但我不是只會動嘴巴那一種...
我做了一點事情....
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◆ From: 203.67.107.200
※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/22 07:49)
→ yonex:給child，我先預告：你有錯誤，問題在於數學歸納法... 03/22 07:50
→ yonex:我會在part.1 的整合性解答下篇 關於數歸納部分給你完整回答 03/22 07:52
→ yonex:另外 我先預告：0.999...完全等於1 03/22 07:54
→ yonex:在完全不使用極限的觀念下，這件事實是可以解釋，並且證明的 03/22 07:57
→ yonex:歡迎大家挑出 child 的錯誤..... 03/22 07:58
推 newfox:我記的我們數導老師說"0.99.."不等於1，就連微積分之類的東 03/22 16:25
→ newfox:西，也只是方便物理做計算。極限概念是為了物理發展出來的. 03/22 16:27
→ newfox:他甚至說：函數哪有什麼圖形？X^2+Y^2=1，你看的到圓？ 03/22 16:28
→ newfox:不過是人家為了方便學習加上去的東西.... 03/22 16:29
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作者: vvbird (vv) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 07:56:07 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: ※ 引述《fatcats (徵求想賺錢的夥伴)》之銘言：
: : 自然是指本來就存在的
: : 既然說到數字~~那代表的量也必須是存在的~~
: : 0是本來就"存在"的嗎??
: : 0個蘋果!? 蘋果存在嗎??
: : 如果這樣~~"沒有人"也是一個自然人了
: child：好呀！ 你說存在才叫『自然』
: 這可是你說的喔....
: 我同意一個蘋果存在...
: 那請問...半個蘋果存不存在呢？
: 肥貓老師，我想你會同意半個蘋果的確存在於這個世界上...
老師：問得好, 孩子, 你有沒有注意到, 你用的數字不是 0.5 個蘋果
而是"半"個蘋果.
就像你不會說, 「我跟你說喔, 我家有勞斯萊斯, 零部喔。」
你不會直接用零這個數字來說, 而是用"沒有"這個詞.
媽媽上市場, 也不會"很自然地"跟老闆說, 他要買 1/6 之一隻雞.
而是要買"一隻腿".
你在路上看到車禍剩下的車子"屍體", 你不會說, 那裡有"半輛車"
而是說, 那裡有"1"部撞爛的車
所以, 我們才會說, 1, 2, 3, ...這些數字的存在是"自然存在"的數..
: 每個老師都說我雞蛋裡挑骨頭，但願你不要這麼以為...
: 你用『存在』來解釋0的『不自然』！
: 卻造成了其它的矛盾，可見你的論調並不妥當...
: 請原諒我的無禮與自負.....
後學拙見, 請儘量批...
因為, 唯有這樣, 才能給孩子最好的
--
家教經驗談
http://irenepcc.dyndns.org/~mt/archives/dunst/07_tutor/index.php
要轉錄文章的人請注意三件事
1. 請註明出處, 2. 請保留簽名檔, 3. 請發個 mail 讓我知道
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◆ From: 203.73.81.189
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作者: waterworld0 () 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 14:21:21 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
其實我覺得, 0.9 9循環跟數學歸納法, 壓根是不同領域的東西.
一個領域的東西, 跑到另一邊, 有時候不一定apply的.
因為有時候使用的前提根本就不同嘛! 我剛剛去google
可是沒有查到數學歸納法很嚴謹的証明, 因此這邊可能暫時找不到證據反駁你,
但是以下就我的了解來說明這兩個問題.
數學一般而言, 分成continuous and discrete.
中間有個叫做 concrete(continuous+discrete)的東西.
我覺得0.9循環這個問題, 應該不是屬於離散數學, 而是屬於連續數學.
在離散裡面, 數學歸納法無疑的是成立的. 但是在極限的討論上, 不一定是適用的.
舉個很簡單的例子: 我們不妨考慮以下這兩個數列
A_n = <1 - 1/n>, B_n = <1 - 2/n>
無論你帶多少, A_n 很顯然都大於 B_n. 但是當n越來越大呢?
或者更明確的說 當n趨近於無窮大, 這時候A_n跟B_n的大小關係變成如何呢?
這時候居然會變成兩個相等耶! 啟不怪哉?
但是, 你用數學歸納法, 無論怎麼證明, 永遠都會得到 A_n > B_n.
這是天知地知你知我知的事情. 但是當n -> 無窮大 結果卻不一樣了. 這是怎麼一回事?
從這個簡單的例子來說明就不難看出來了.
極限可以不用是一個存在的東西, 因為他只是一個概念.
或者用數學的語言來說, 他是一個bound.
在數線上面, 一個數列越來越靠近這個bound的時候, 會越來越密, 但是始終不會等於.
就像這世界上哪來無限多個9. 但是我們卻敢斷言 0.9, 9循環這個數等於1.
其實我並不認為這是一個"數", 而是一個極限.
因此我認為剛剛那個數學歸納法應該是不能使用的.
極限是一種很抽象的東西, 高中剛開始學習的時候, 你會以為你自己懂了,
但是到了大一, 你又會覺得你自己好像又不懂了, 以後再碰到,
你又會覺得你自己好像懂了. 很多東西要講數學都會變的很難,
我覺得極限算是一種相當抽象的概念, 當然只講計算是很容易的.
就好比 lim ( A_n + B_n ) = lim A_n + lim B_n 這個是個簡單的不得了的結果
n->無窮大
簡單到我高中的時候都覺得數學家寫出那麼白癡的東西幹啥,
可是到了大二多看了一些數學又發現這個東西的重要性了.
因此你說0.9, 9循環這個數字等不等於1 其實我建議你不妨考慮這個數列
A_n = < 1 - (1/10)^n > 把他展開會變成 { 0.9, 0.99, 0.999, ---- }
當n遞增的時候, 會越來越接近1. 當然如果你硬要說 他永遠都比1小當然也是可以的.
但是無可否認的
lim A_n 的確是等於1.
n->無窮大
或許書上跟我講的不一樣, 但是我還是想要重申, 就我的理解, 0.9 9循環的本身
並不是一個"具體的數字".
認不認同我的看法, 就看你認不認同"< 1 - (1/10)^n >" 跟 "0.9, 9循環"
是不是兩個等價的命題了.
--
因此我才會常說, 高中數學其實根本沒什麼學問, 也不算什麼數學,
因為他本身的內容很有限, 有些東西在高中的參考書裡面, 根本是胡扯一通.
我也是唸到大學才重新了解很多東西, 高中數學很多地方是不太嚴謹的.
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★devildigi 我要考財金或企研所 [07/16/2005 16:31:53]
★devildigi 隨便就上阿
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◆ From: 140.112.30.122
※ 編輯: waterworld0 來自: 140.112.30.122 (03/22 14:24)
推 yonex:waterworld0你很聰明 但是有些智慧卻是要花點努力才能看見 03/24 13:00
→ yonex:有時候我們任憑直觀或肉眼，會看不清事物的真相... 03/24 13:02
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: aack (喔) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Wed Mar 22 19:58:27 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: → yonex:給child，我先預告：你有錯誤，問題在於數學歸納法... 03/22 07:50
: → yonex:我會在part.1 的整合性解答下篇 關於數歸納部分給你完整回答 03/22 07:52
: → yonex:另外 我先預告：0.999...完全等於1 03/22 07:54
: → yonex:在完全不使用極限的觀念下，這件事實是可以解釋，並且證明的 03/22 07:57
: → yonex:歡迎大家挑出 child 的錯誤..... 03/22 07:58
有種證明是這樣的:
x = 0.9999....
10x = 9.9999....
得到9x = 9 ==> x = 1
但是 這也只能說幾乎是1而已 真的x就是1嘛? 其實是有瑕疵的
原因在第2步 在無限個9的情況下 乘上一個10小數點往右移一位撼動不了後面無限項
但是 上面的理由其實無形中"無限"的概念就被扯了進來
到底什麼是無限呢? 無限多位要是幾位?
我之前說的有多小就有多小 或要多大就有多大 多接近就有多接近 也只是對中學生的解釋
事實上 16世紀在極限定義還沒被提出之前 這些解釋都遭過批判
雖然表面上很直觀 但是就連牛頓 萊布尼茲等微積分始祖 當時也無法自圓其說
但是 在下認為 這個問題本身就是個極限的概念 硬要不扯極限來用普通數論說清楚 實在
有難度
我想 如果"真要"有個完美的理由來讓人心服口服 可能還是得牽扯到ε-δ論證吧
只能說 在對中小學生來說 對於這個概念 可能直觀要比真正的"證明"強而有力很多
這是末學的一點淺見...:)
--
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◆ From: 61.228.50.171
※ 編輯: aack 來自: 61.228.50.171 (03/22 19:59)
推 yonex:嗯嗯 不過..現在不只是說服學生 更是我們自己懂不懂的問題.. 03/23 21:54
→ yonex:有時候我們任憑直觀或肉眼，會看不清事物的真相... 03/24 13:03
→ yonex:有些智慧卻是要花點努力才能看見 03/24 13:03
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作者: stukpe (風) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Thu Mar 23 00:56:15 2006
先聲明我非數學系的，
但我心中也是有個Child存在
※ 引述《aack (喔)》之銘言：
: ※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: : → yonex:給child，我先預告：你有錯誤，問題在於數學歸納法... 03/22 07:50
: : → yonex:我會在part.1 的整合性解答下篇 關於數歸納部分給你完整回答 03/22 07:52
: : → yonex:另外 我先預告：0.999...完全等於1 03/22 07:54
: : → yonex:在完全不使用極限的觀念下，這件事實是可以解釋，並且證明的 03/22 07:57
: : → yonex:歡迎大家挑出 child 的錯誤..... 03/22 07:58
: 有種證明是這樣的:
: x = 0.9999....
: 10x = 9.9999....
: 得到9x = 9 ==> x = 1
: 但是 這也只能說幾乎是1而已 真的x就是1嘛? 其實是有瑕疵的
: 原因在第2步 在無限個9的情況下 乘上一個10小數點往右移一位撼動不了後面無限項
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
以前有幾位老師都是用上述的證明，
但我心中不經思考
「老師們曾說過無限大並非一個數字，故無法作四則的運算(印象相減應該也不可以吧)
為何無限大不能做四則的運算呢？」
於是我心中偷偷認為那也許是我們根本找不出無限大的定位在哪，
它到底有幾位數，不知道，
它到底有多大，不知道，
故我們不能對無限大做四則運算
但我不懂，為何0.9999....這樣一個數我們卻能對它做乘法或減法
如果這樣我們是否也可﹝無限大﹞-﹝無限大﹞令其結果等於零呢？
上述，我這樣的想法有何不妥的嗎？請指教
若無不妥之處，為何老師們還會這樣教呢？
: 但是 上面的理由其實無形中"無限"的概念就被扯了進來
: 到底什麼是無限呢? 無限多位要是幾位?
: 我之前說的有多小就有多小 或要多大就有多大 多接近就有多接近 也只是對中學生的解釋
: 事實上 16世紀在極限定義還沒被提出之前 這些解釋都遭過批判
: 雖然表面上很直觀 但是就連牛頓 萊布尼茲等微積分始祖 當時也無法自圓其說
: 但是 在下認為 這個問題本身就是個極限的概念 硬要不扯極限來用普通數論說清楚 實在
: 有難度
: 我想 如果"真要"有個完美的理由來讓人心服口服 可能還是得牽扯到ε-δ論證吧
: 只能說 在對中小學生來說 對於這個概念 可能直觀要比真正的"證明"強而有力很多
: 這是末學的一點淺見...:)
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◆ From: 61.57.98.172
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Thu Mar 23 05:17:32 2006
: 老師們曾說過無限大並非一個數字，故無法作四則的運算(印象相減應該也不可以吧)
: 為何無限大不能做四則的運算呢？」
: 於是我心中偷偷認為那也許是我們根本找不出無限大的定位在哪，
: 它到底有幾位數，不知道，
: 它到底有多大，不知道，
: 故我們不能對無限大做四則運算
: 但我不懂，為何0.9999....這樣一個數我們卻能對它做乘法或減法
: 如果這樣我們是否也可﹝無限大﹞-﹝無限大﹞令其結果等於零呢？
: 上述，我這樣的想法有何不妥的嗎？請指教
: 若無不妥之處，為何老師們還會這樣教呢？
我本來想整合大家的 解釋 與 共識 後再回答的，
在我能力範圍之內，後學先替你解惑好了...（child 也仔細聽喔....）
Ｑ1：『 0.9999....是個數嗎？ 』
_
waterworld0兄曾說：就我的理解，我並不認為 0.9 是一個『數』，而是一個極限...
（請原諒我的斷章取義）
_
而 gwendless、aack 的解釋，也大致上差不多....0.9 這個數的『極限值』是 1
當你只回答了我極限值....
意思就是：你並沒有回答我確切值 （當然了，確切值可以等於極限值）
現在回到問題本身....
我們且先看看 1/3 是數嗎？
沒錯呀！ 他是『數』，這毫無疑問的......
那麼0.333....難道就不是數嗎？
Ｑ1的答案呼之欲出了。
『分數表達法』遠比『小數表達法』歷史悠久的多！
小數表達法的優點在於：立刻可以比較兩個數的大小，而分數卻要通分。
如果說『後起之秀』的小數表達法，
提供了便利性，卻讓一個原本的『數』蒙上神秘的面紗
那麼小數表達法存在的正當性就很低了！
（抵制並排除 知識上的『權威性』與『神秘性』，是數學的精神與本質之一）
_
馬上地，我們大膽的說：0.9 是個數！ 毫無疑問地
並且是個有理數，可以四則運算，和∞無論在..外觀和本質上都完全不一樣的兩個概念
----------------------------------------------
_
Ｑ2：0.9 究竟是不是 1？
_
OK，在我開始之前....請先讓我預告：0.9＝1 （當然我會解釋、我會講理由）
可想而知，中學生幾乎不可能問這個問題
（雖然他可能心中有過質疑...如果他夠認真、夠用功過的話....）
但是，竊以為就教學者的標準而言，本來就應該高於學生，很基本的道理...
因此我們該低頭、該沈思、該理解..我們已經培養足夠的素養，可以看的比學生更遠
一個真正的老師，不僅為經師亦為人師....懂得東西也該比課本與參考書的內涵多的多
『思考比學習更重要——思考才是真正的學習！』
會思考的老師，才能教出會思考的學生....
印象派畫家莫內曾說：
『對我來說，題材只是次要的...我想要表達的是我和題材之間一種活的東西....』
類推到數學，雖不能至但心嚮往之....
child 提出Ｑ2只是個鍥子，每一個夠水準的問題...都是一場探索智慧的過程...
蘇格拉底的偉大不在於他知識的淵博，在於他追求真理與熱愛智慧的信仰...
他的母親是個接生婆，他也繼承母親為人接生的工作....
不過他是替人們在『思想上接生』
末學斗膽....嘗試仿效『蘇格拉底式教學法』回答這個問題，
只是我稀薄的學識與拙劣的表達...實不敢企盼蘇格拉底的認同....
望方家不以春秋罪我是幸....
--
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◆ From: 203.67.107.200
推 showei:十分 優秀 03/24 09:55
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題... part 2
時間: Sat Mar 25 07:58:58 2006
抱歉 請原諒我的斷章取義 @@~
※ 引述《waterworld0 ()》之銘言：
: ※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: 其實我覺得, 0.9 9循環跟數學歸納法, 壓根是不同領域的東西.
: 一個領域的東西, 跑到另一邊, 有時候不一定apply的.
數學是有整體的相容性的有機體
一個領域的東西跑到另一邊，不能apply的....一定是哪裡出了問題
基於理性的態度 要把問題講出來 講的清清楚楚的...
: 因為有時候使用的前提根本就不同嘛! 我剛剛去google
: 可是沒有查到數學歸納法很嚴謹的証明, 因此這邊可能暫時找不到證據反駁你,
child其實在推倒n＝k+1這一步，並沒有用到第k個骨牌去推
他是自己用外力（直覺）把n＝k+1這塊骨牌推倒的...
違反了數學歸納法的原理，這就問題的所在....
: 但是以下就我的了解來說明這兩個問題.
: 數學一般而言, 分成continuous and discrete.
: 中間有個叫做 concrete(continuous+discrete)的東西.
: 我覺得0.9循環這個問題, 應該不是屬於離散數學, 而是屬於連續數學.
: 在離散裡面, 數學歸納法無疑的是成立的. 但是在極限的討論上, 不一定是適用的.
: 舉個很簡單的例子: 我們不妨考慮以下這兩個數列
: A_n = <1 - 1/n>, B_n = <1 - 2/n>
: 無論你帶多少, A_n 很顯然都大於 B_n. 但是當n越來越大呢?
: 或者更明確的說 當n趨近於無窮大, 這時候A_n跟B_n的大小關係變成如何呢?
: 這時候居然會變成兩個相等耶! 啟不怪哉?
: 但是, 你用數學歸納法, 無論怎麼證明, 永遠都會得到 A_n > B_n.
: 這是天知地知你知我知的事情. 但是當n -> 無窮大 結果卻不一樣了. 這是怎麼一回事?
limA_n＝limB_n＝1 與 A_n > B_n for all n 屬於自然數
這是兩碼子事情：一個是極限 一個是不等式 that's all
: 從這個簡單的例子來說明就不難看出來了.
: 極限可以不用是一個存在的東西, 因為他只是一個概念.
整個數學都是概念 都是不存在的
只是概念有深淺而已 但是...當一個人學問越深，淺的東西也會變深的
這是境界問題...
: 或者用數學的語言來說, 他是一個bound.
: 在數線上面, 一個數列越來越靠近這個bound的時候, 會越來越密, 但是始終不會等於.
: 就像這世界上哪來無限多個9. 但是我們卻敢斷言 0.9, 9循環這個數等於1.
: 其實我並不認為這是一個"數", 而是一個極限.
這個問題我回答過了 在14559篇 你可以參考看看...
其實 0.999999....這個數，可以定義為1
但是我們都同意 無論是公設或是定義 都是越少越好
0.999999....＝1是可以推導的（毫無神秘與不可知地，可參考蘇格拉底一文）
那我們就毋須把這個數定義為1 破壞了定義的獨立性應該盡量避免
: 因此我認為剛剛那個數學歸納法應該是不能使用的.
: 極限是一種很抽象的東西, 高中剛開始學習的時候, 你會以為你自己懂了,
: 但是到了大一, 你又會覺得你自己好像又不懂了, 以後再碰到,
: 你又會覺得你自己好像懂了. 很多東西要講數學都會變的很難,
: 我覺得極限算是一種相當抽象的概念, 當然只講計算是很容易的.
: 就好比 lim ( A_n + B_n ) = lim A_n + lim B_n 這個是個簡單的不得了的結果
: n->無窮大
: 簡單到我高中的時候都覺得數學家寫出那麼白癡的東西幹啥,
: 可是到了大二多看了一些數學又發現這個東西的重要性了.
: 因此你說0.9, 9循環這個數字等不等於1 其實我建議你不妨考慮這個數列
: A_n = < 1 - (1/10)^n > 把他展開會變成 { 0.9, 0.99, 0.999, ---- }
: 當n遞增的時候, 會越來越接近1. 當然如果你硬要說 他永遠都比1小當然也是可以的.
: 但是無可否認的
: lim A_n 的確是等於1.
: n->無窮大
: 或許書上跟我講的不一樣, 但是我還是想要重申, 就我的理解, 0.9 9循環的本身
: 並不是一個"具體的數字".
: 認不認同我的看法, 就看你認不認同"< 1 - (1/10)^n >" 跟 "0.9, 9循環"
: 是不是兩個等價的命題了.
我當然不認同
一個是數列 一個是數
怎麼可能等價敘述
數列是定義域在正整數（或其子集）的函數
我想我們應該不會認為『函數』跟『數』是同一個東西吧...
有些智慧是要花點努力才能看見的
常常...或者應該說 總是....
任憑肉眼或不成熟的直覺，是看不清楚事物背後隱晦的真相的...
從無到有過程的整個展現，全盤討論...深入思考....
才不會流於斷章取義.....才不會陷於只見樹而不見林的窘境
強聒不捨地...我還是重申一次...
在數學的世界裡，『思考比學習更重要——思考才是真正的學習！』
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
只有從高觀點下俯瞰初等數學，那濛霧後面的真相才會益發清明....
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與聰明的waterworld0兄共勉之...
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◆ From: 203.73.234.238
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.234.238 (03/25 07:59)
推 waterworld0:控制馬?? 03/25 23:32