推 blackCCC:a.質數是恰有2個正因數 但1只有1個(我是這麼解釋的) 03/20 11:14
→ blackCCC:c.因為0沒有倒數,又除法是乘以除數之倒數 03/20 11:16
→ blackCCC:e.根據指數律 a^m/a^n=a^(m-n)又當m=n時就可知道 03/20 11:17
→ blackCCC:f.指數律裡有規定a不可以是0 03/20 11:19
→ blackCCC:有錯請指正吧!其他的下次再寫@"@ 03/20 11:20
推 j6ru04jo3:可以請問推文第2行"0沒有倒數"的証明嗎? 03/20 12:22
推 yonex:那不是證明，那是規定，為了避免麻煩，可參考14267篇文章 03/21 01:59
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作者: j6ru04jo3 (ㄆㄆ~) 站內: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題...（something about …
時間: Mon Mar 20 11:17:53 2006
b.
中學生要聽的懂的話
應該不是證明吧
而是大概解釋原因...
那嚜:
如果把負數跟正數放在數線上
把它們(例如-5跟5)當作以0為鏡射的兩點
----+----+----+------
-5 0 5
負正=>把正數*上負號=>在數線上來說 是正數對0的鏡射
同理 負數*上負號在數線上是對負數的鏡射
這就是故事的經過
這個方法雖然不是正統證明
可是應該還不錯瞭吧...
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◆ From: 61.223.160.45
→ yonex:『負負得正』其實是不能證明的...數這個概念是人類創造的 03/21 02:00
→ yonex:負負必須得正，這樣才能保證算術的基本公設仍然有效... 03/21 02:01
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作者: j6ru04jo3 (ㄆㄆ~) 站內: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題...（something about …
時間: Mon Mar 20 12:21:45 2006
e.
a^2 我們把她唸做"A的平方" 也唸做"A的2次方"
他其實就是a*a a乘兩次的意思
也可以是1*a*a
同理 a^3 a的三方
是a*a*a 三個a相乘 也可以說是1*a*a*a
那a^1 a的一次方勒?
a*1 對吧
也就是說 幾次方 就是那個數乘幾次
a的 0次 1次 2次 3次.....
就是 乘0個a 1個a 2個a......
"又"所以 a^2=(a^1)*a
a^3=(a^2)*a
..........
a^1=(a^0)*a
=> a=(a^0)*a
同除a => 1=(a^0)
這是算式的解釋法
抽象的 就是說 因為次方是乘法的一種表示
而任何數乘0都會化為0
所以任何數的0次方不是0而是1
0算是加減法的"地基" 因為任何數加減0都是本身
而
1才是乘除的"地基" 因為任何數乘除1都是本身
所以設任何數^0為1
因為次方算是乘除體系的
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作者: kh749 (ReturnTo) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題...（something about …
時間: Mon Mar 20 14:24:56 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: 在高中的時候，關於數學我總有些不滿，
: 課堂上的老師並沒有解決我腦海裡的疑慮....
: 當了家教老師，我相信這些問題同時存在於學生的心中...
: 如今我們是否有能力幫他們解決呢？
: 在這裡向各位請益....對於以下問題，是否有好的解釋...
: a. 1 為什麼不是質數 ？
質數的意思就是他的所有正因數中除了1就只剩下自己
可是1的因數中除了1...剩下空集合,所以1不是質數
(否則你質因數分解的1上面的次方想寫幾次方:P...10次?...100次?)
: b. 為什麼 『負負得正』？
"你是豬"...這句話是錯的...
所以
"你是豬這句話是錯的"...這句話是對的
我得到1元表示為+1
我輸了1元表示為-1
我輸了-1元...表示為..-(-1)=+1
: c. 為什麼 0 不能放分母？（這一題我之前有寫一篇短文解釋了...）
: d. 為什麼 0!＝1？
你可以由排列的定義來看..P(n,n)= n!/(n-n)! = n!/0!
因為n個東西直線排列有n!種方法...
所以n個東西中取n個出來排列=P(n,n)=n!/0!=n!
故0!=1
: e. a 為...不是零的任意實數，為什麼 a^0＝1？
由指數律知 a^2/a^2 = a^0
但a^2/a^2 = 1
所以a^0 =1
: f. 為什麼 0^0 無意義？
因為 0^0 = 0^2/0^2 = 0/0 =>無意義
: g. 分數相除，為什麼除數要顛倒後再相乘？
去找小學課本吧....小學課本有很好的解釋
: h. 為什麼依照『數學歸納法』的程序，可以拿來證明數學？（不顯然呀！）
: i. 為什麼要叫『數學歸納法』？（程序中看不出任何歸納的味道）
這就是台灣教育的悲哀.....只教學生怎麼寫能得分
但是學生無法了解其中的內涵...
要往下看的話...大家先忘記高中老師說過什麼喔...
否則你還是會半信半疑
如果要證明對任意n>=1,n為整數都成立的一個敘述
重要的地方在於證明: 對任意n如果該敘述成立,n+1該敘述也成立
所以假設n=k時成立,此時,若能推出n=k+1也成立,
那麼這個步驟就算完畢了
但是你不要忘了...
你只是得到n=某數k,該敘述成立的話,n=k+1也成立
你並沒有找到一個k啊!!...
你要找到ㄧ個成立的k,然後再利用對於任意n=k成立,n=k+1也會成立的性質
才能夠一個推一個,由k得到k+1,由k+1推到k+2,由k+2推到k+3
為什麼可以推?...因為"若某一個n成立,則n+1也會成立嘛!!"
因此找到n=1...
如果n=1成立,則n=2也成立
n=2成立,n=3也成立....
因此對於任何n>=1,該敘述都成立
: j. 指數函數為什麼底數要大於0？
因為有一個數學家開始,把等比數列這樣分類
一類在坐標平面上有著連續函數的樣貌...就是指數函數
另一類在坐標平面上沒有漂亮的圖形...就是其他等比數列
: k. 為什麼四則運算要『先乘除加減』？
沒有為什麼,因為大家習慣這樣...
就像電視機為什麼叫做電視機?...位什麼不叫視電機?
因為你這樣寫...大家才看的懂
: 暫時想到的是這些....歡迎大家補充問題！
: 又或者挑任何一個問題，提供你的解釋（當然要以中學生聽的懂為準....）
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◆ From: 61.31.175.147
※ 編輯: kh749 來自: 61.31.175.147 (03/20 14:39)
推 yonex:數學歸納法運作的原理講得很好...只是 為什麼這程序稱歸納？ 03/22 00:23
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作者: name (台大基服等你唷^^) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題...（something about …
時間: Mon Mar 20 17:04:27 2006
: : b. 為什麼 『負負得正』？
負負得正，出現了三次
(1)第一次在相反數
(2)第二次在減負數
(3)第三次是在負數相乘除
上述版友們證明的都是(1)(2)
我覺得最難說清楚的負負得正 是(3)
也請版友幫忙
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◆ From: 218.161.3.189
推 j6ru04jo3:把負數分開成"正數乘負一" 負一本身乘除自己 03/20 17:12
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作者: waterworld0 () 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題...（something about …
時間: Mon Mar 20 17:13:25 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: 在高中的時候，關於數學我總有些不滿，
: 課堂上的老師並沒有解決我腦海裡的疑慮....
: 當了家教老師，我相信這些問題同時存在於學生的心中...
: 如今我們是否有能力幫他們解決呢？
: 在這裡向各位請益....對於以下問題，是否有好的解釋...
: a. 1 為什麼不是質數 ？
: b. 為什麼 『負負得正』？
這個我有個做法 分配律應該大家比較能夠接受 (a+b)*c = a*c+b*c
==> (-2)*(-3) = (0-2)*(-3) = 0*(-3) - 2*(-3) = 0 - (-6) = 6
(0比 -6多六)
: c. 為什麼 0 不能放分母？（這一題我之前有寫一篇短文解釋了...）
列直式可以知道吧@@"
: d. 為什麼 0!＝1？
很簡單呀 0個東西排列只有一種方法XDDD 這很直觀
: e. a 為...不是零的任意實數，為什麼 a^0＝1？
這個隨便一本書都有.. 3^2 = 3^(2+0) = 3^2 * 3^0
=> 9 = 9* 3^0 => 3^0 = 1 其實把3換成其他數字都一樣
: f. 為什麼 0^0 無意義？
這個根據定義很容易
: g. 分數相除，為什麼除數要顛倒後再相乘？
因為除以一個數字等於乘以他的相反數
: h. 為什麼依照『數學歸納法』的程序，可以拿來證明數學？（不顯然呀！）
因為數學歸納法本身也是被證明出來的 請見離散數學
: i. 為什麼要叫『數學歸納法』？（程序中看不出任何歸納的味道）
有呀 因為從 1-n都成立 歸納出這個事實
: j. 指數函數為什麼底數要大於0？
為了定義log咩
: k. 為什麼四則運算要『先乘除加減』？
這個我猜.. 應該是因為 方便吧 而且電腦也是這樣做
: 暫時想到的是這些....歡迎大家補充問題！
: 又或者挑任何一個問題，提供你的解釋（當然要以中學生聽的懂為準....）
--
#include <stdio.h>
main(int argc)
{
if( argc == 11 )return;
for(int i = 0; (i++ < argc)&&putchar('*'););putchar('\n')&&main(argc+1);
}
--
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◆ From: 210.58.70.170
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作者: ayulmfans (奈奈妹粉斯) 看板: tutor
標題: Re: [閒聊] 老師！ 我有問題...（something about …
時間: Mon Mar 20 19:18:09 2006
其實我覺得你提出的這些疑問真的很好
以前我在學的時候 也是先當作數學的公設背起來
直到高中甚至大學 才了解每一個以前覺得理所當然的定義 其實都有它的道理在
雖然不敢說一定正確 但是我提出我的想法和大家討論@@
當然 有錯也歡迎指正 :p
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: 在高中的時候，關於數學我總有些不滿，
: 課堂上的老師並沒有解決我腦海裡的疑慮....
: 當了家教老師，我相信這些問題同時存在於學生的心中...
: 如今我們是否有能力幫他們解決呢？
: 在這裡向各位請益....對於以下問題，是否有好的解釋...
: a. 1 為什麼不是質數 ？
關於這個定義 基本上要牽扯到算數基本定理
算數基本定理:每一個大於1的正整數，都可唯一寫為質數的乘積
由這麼一個美妙的定理 可以推展出"數"的性質和"數"的體系
但是 如果一開始定義1是質數呢?
那麼唯一性就被破壞了 12表示成值數的成積將不再是只有2^2*3而已
可以是1*2^2*3 可以是1^2*2^2*3 可以是很多種表示法
那接下來要利用這個基本定理再推衍出其他美妙的公式就有所困難了
所以數學為了這個重要的"唯一性"保留 也方便接下來數系的發展
便規定了1不是質數
: b. 為什麼 『負負得正』？
我和學生解釋的時候都用例子解釋...
但是 真正的數學方法 末學便不太清楚了
: c. 為什麼 0 不能放分母？（這一題我之前有寫一篇短文解釋了...）
恩 我覺得要解釋的話 可能可以從定義下去看
首先 什麼叫6/3呢 可以用6個蘋果分給3個人 每人可以得幾個來解釋 於是乎答案是2個
但是6/0又是什麼呢? 6個蘋果分給0個人 每人得幾個? 似乎就有點迷惑了
再者 如果從代數方面切入 6/2=?可以看成?*2=6
但是 如果分母放0呢? 6/0=?如果有個正確答案 那必然?*0=6也要有個正確答案
但是事實上 沒有一個數字*0可以=非0數字的 至少在我們的世界 說不通的
所以為了避免這樣的混淆 就規定了 除數不可為0
: d. 為什麼 0!＝1？
這似乎也是為了階乘性質的完美而定義出來的
: e. a 為...不是零的任意實數，為什麼 a^0＝1？
讓我們看任何a不為0的實數 lim(x->0+)a^x和lim(x->0-a^x)會有怎樣的變化
令y=a^x ==> lny = xlna
所以lim(x->0+)lny = lim(x->0+)xlna 對所有a!=0而言 x->0+ lny都->0
同理lim(x->0-)亦如此
又由於y=a^x為到處連續 lim(x->0)(lny) = lnlim(x->0)y = 0
所以lim(x->0)y = lim(x->0)a^x = 1顯然相當合理
: f. 為什麼 0^0 無意義？
仿照上題 考慮y=x^x lim(x->0+)x^x和lim(x->0-)x^x會有怎樣的變化
y=x^x ==> lny = xlnx
所以lim(x->0+)lny = lim(x->0+)xlnx = lim(x->0+) lnx/(1/x) 使用L'Hospitals' rule
=lim(x->0+)(1/x)/(-x^-2) = lim(x->0+)(-x) = 0
lim(x->0+) lny = 1
但是仔細觀察lim(x->0-)x^x的值 x = -1時x^x=-1 但是當x從-1開始趨近到0時
-0.1 -0.01 -0.001 .....lim(x->0-)x^x不定(x->0+卻沒有這個問題 極限是1)
所以左右極限不同 lim(x->0)x^x並不存在 也可以說沒有定義
: g. 分數相除，為什麼除數要顛倒後再相乘？
這我也是用實際例子教導我的學生...@@
: h. 為什麼依照『數學歸納法』的程序，可以拿來證明數學？（不顯然呀！）
: i. 為什麼要叫『數學歸納法』？（程序中看不出任何歸納的味道）
現在教高中生數學歸納法的時候 多半是拿一個題目出來叫學生證明欲證明的結論
這樣當然看不出數學歸納法的用處
事實上 當我高中的時候 也覺得數學歸納法這張有點倒果為因的味道
舉個例子來說 高中常常出現這種問題:設n為自然數 證明10^2n+5*12^n-6都可以被22整除
但是這看起來 似乎是事先要先知道結論(誰會想到這可被22整除?) 然後再從答案推回題目
有點為出題而出題 所以我那時會有這種想法....
不過事實上 數學的領域本來就存在著觀察=>歸納+猜想=>驗證 而且還屢見不鮮
只是我們以前的思維習慣了演繹 而不善於歸納
而教育方向也多以考試取向 所以中學生們便忽略了這個方法的重要性
實際上 深為一個學科學的人 想像力本來就比知識更重要(from Einstein)
台灣數學教育所欠缺的 也就是這部分 我們要培養的不應該是解題機器
而是要學會做數學的研究方法 能欣賞每一個定理的奧妙和恰到好處之處
於是乎 真正在數學領域 一個對數學有感覺的人 對數學敏感的人
必然會發現某些數學的規律性 或是某些"可能"存在的定律
但是 要怎麼驗證自己所觀察的對不對呢? 數學歸納法便提供了一個強力的驗證法
也因此 個人認為高中生再學術學歸納法的時後 只學了一半
真正的數學歸納法 讓你從0開始一點一點發現數字巧合的奧妙 然後大膽假設 小心求證
最後發現自己猜測確確實實的存在 而感動 我認為這才是數學歸納法的真諦
: j. 指數函數為什麼底數要大於0？
若允許指數函數的底數小於0 則無法定義它的反函數(對數函數)
更確切的說 這樣就不存在log這個"函數"...因為它在某些點便可以1對2了...
: k. 為什麼四則運算要『先乘除加減』？
好問題 我不知道orz
: 暫時想到的是這些....歡迎大家補充問題！
: 又或者挑任何一個問題，提供你的解釋（當然要以中學生聽的懂為準....）
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◆ From: 61.228.50.171
推 ovolo:推一下~數學歸納法講得很好....不管任何學問都是如此.. 03/20 20:27