› 精華區beta tutor 關於我們 聯絡資訊
作者yonex (諸法皆空)
看板tutor
標題[閒聊] 蘇格拉底的數學對話錄 （0.999...＝1？）
時間Thu Mar 23 11:41:39 2006
登場人物： 蘇格拉底 柏拉圖 地點：雅典學院廣場 ----------------------------------------------------------- _ _ 柏：老師，請問 0.9 究竟是不是 1？ 0.9＝1嗎？ 蘇：我倒問你，他不是1嗎？ 柏：你可以現在就給我一個答案嗎？ 撇開您過往的迂回曲折、撇開峰迴路轉好嗎？ 蘇：不，朋友，即使我有這個能力，也不會這麼做... 這也是為了你的緣故，不努力得來的智慧，幾乎是沒有價值的.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 大家都笑稱我是一個『思想上的接生婆』，其高明的手腕連斯巴達人都耳聞.. 呵呵～～～只是我再怎麼高明，卻無法讓一個不出力氣的產婦誕下生命... 聰明的柏拉圖，我想你一定能體會我的用心與感受.... 柏：親愛的老師，您永遠是對的...請讓我追尋你的腳步.... _ 蘇：0.9 是個數吧？你能回答我他是哪一類數嗎？就你所瞭解的『數』 柏：他是有理數，這我很肯定...所有的有理數都可以表達為無窮循環小數。 蘇：問題不會這樣就可以解決了！ 我們需要再更努力一點..... 請施捨你心中的疑問，讓我同你煩惱、同你喜悅..... 柏：是這樣子的，本來這不該是什麼問題，我也從未曾煩惱... 對了....您知道愛琴海上有個PTT島嗎？ 離特洛伊城沒有很遠...他們是亞特蘭提斯的後裔.... 和詭辯學派（Sophists）不同，他們也同你我一樣信仰理性主義.... _ 總之....那裡盛傳 0.9 的極限等於 1，並且在哲人間廣泛討論.... _ 他們捎來一封信告知...目前進展仍無法突破 0.9 的確切值.... _ 有一位年輕人叫child，他甚至利用自然數的性質證明了 0.9≠1 PTT島的愛智者呀～～，我為他們的困擾感同身受..... 蘇：孩子，現在是公元前五百年，你前衛的思想幾乎沖昏了我 現在的你...思緒有太多的雜質， 如果妳週遭的空氣聲影雜沓...請沉甸一下心靈。 斯多葛派的創始人芝諾（Zeno），他無法解決的極限問題...我們又能奈何呢？ _ 或許問題真的沒有這麼複雜.....誠如你剛剛回答我的....0.9並不神秘呀！ _ 我想再囉唆一次..... 0.9是一個什麼數？ 柏：他是一個有理數，是一個可比的數！ 蘇：那我們沒有必要陷入芝諾的詭論， 或是重蹈畢達哥拉斯（Pythagoras）學派的後塵... 畢氏似乎發現了一點有趣的東西.... 柏：正方形的對角線長是不可共度的，換句話說...他們找到了無理數 √2 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 為了不撼動畢氏學派理論的基礎，聽說還有人為此犧牲了生命.... 蘇：√2前陣子才被發現，是希帕索斯（Hipparchus）的成就.... 公元前五百年的現在...或許目前這世界上還沒有人真的懂他... 你剛剛所說的什麼『極限概念』....也就是芝諾的那套說詞 可能真的有一天會派上用場來解釋無理數的奧妙，甚至更多東西.... _ 但是我們人類目前並不懂極限，而 0.9 這玩意如你之前所認知的.... 並不存在神秘性，他是可愛的有理數，殺小雞不需要青龍偃月刀吧！ 關於這點...你同意嗎？ 柏：是的，親愛的蘇格拉底，只是我心中的疑惑仍在..... 蘇：我瞭解。或許我們可以換個角度，讓凱撒的歸凱撒、極限的歸極限.... 想請問....聰明的柏拉圖：你能給我一個最大的自然數嗎？ 柏：為什麼我們忽然討論起自然數？老師，你又來了...讓人搞不懂你呀！ 自然數當然沒有最大的....窮盡全人類所有的壽命也舉例不出來... 蘇：追求真理與熱愛智慧的路上，不該有這種武斷式的對話..... 今天....你是來同我討論智慧，還是研究教條？ 你還記得歸謬法嗎？聽說那是數學家們『精緻的武器』（fine weapon）！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 希帕索斯用他找到了無理數，也就是√2 不可公度的證明... 或許『棄盤戰術』可以幫我們殺出一條生路，要不要試試看呢？ 柏：希帕索斯為真理付出生命，只怕這種執著將後繼無人.... 我雖天資駑鈍，願意全力以赴，只是老師，你要幫幫我呀～～～ 蘇：我們兩人目前是一起陷入泥沼....說互相幫忙會更適合.... 你瞧～～～那裡有棵蔭涼的大樹，旁邊有一塊沙地， 沙地上的數學家不會及身而絕的....只但願可別犧牲生命了... 我們就坐在沙地邊乘涼邊討論吧！走！你順便折個樹枝當筆用！ -------------------------------------- 定理 1 自然數不存在最大元素 pf： 柏：現在假設自然數存在最大數 M （切記，M 現在是最大自然數，我假設他存在） 則，M^2 是自然數 蘇：為什麼 M^2 是自然數？ 柏：因為 M 是自然數，具有乘法封閉性。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 並且 M^2＝ M 蘇：M^2 怎麼會等於 M 呢？ 你肯定要說服我 柏：老師，因為M^2 是自然數，M 現在是最大自然數， 所以 M^2 不能大於 M，也不能小於，根據三一律，只能等於！ M^2－M ＝0 M（M－1）＝0 我們得到最大自然數M＝0 或 1 ，因為0不是自然數 最大自然數為 1 顯然矛盾 -><- 故假設錯誤，我們證明了最大自然數不存在...使用的是『歸謬法』！ Q.E.D. ----------------------------------------------------- 蘇：很好，愛真理要勝過愛老師.....我們已經有了第一個結論.... 『自然數沒有最大元素』 我的心裡有一種聲音在迴盪，每次在獨思冥想時..心靈深處就會發出那悅耳天籟 離目標越來越近了.....親愛的柏拉圖，我們要有信心 現在可以請你說一說對於以下故事的看法嗎？ "古時候...在『數學國』有一個老兄叫愚公，他天真的想要把太行山用剷子移走 這任務的確龐大，村裡的人都笑他不切實際， 愚公回答：『子又生孫，孫又生子﹔子又有子，子又有孫。 子子孫孫，無窮匱也。而山不加增，何苦而不平？』 你認為愚公可能達成這個『不可能的任務』嗎？ 柏：您又再戲弄我了....討論才剛加溫，現在又跳到愚公移山去了.... 蘇：別生氣，我的朋友.....我是很嚴肅的跟你講這個故事的... 你不看我的面子，也同情一下愚公吧！ 不覺得他很可憐嗎？ 聰明的柏拉圖，或許以你的智慧可以幫他想想辦法？ 柏：好吧！我認為...在『數學國』裡，愚公的確是可以移山的... 不論山多大（M多大），一剷多小（a多小）， 必定存在一個自然數 n 使得山被愚公挖光 （na＞M） 蘇：很好！愚公住哪裡？ 柏：數學國... 蘇：數學國的語言不是這樣的...他們不用希臘文 你能幫忙把愚公移山的故事翻譯成數學國的語言嗎？ 柏：任給兩自然數 a、M，必定存在一個自然數 n 使得 na＞M ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 蘇：我的好朋友，趕快拿起我們『精緻的武器』吧！ 『棄盤戰術』真不是蓋的.... ---------------------------------------------------- 定理2 任給兩自然數 a、M，必定存在一個自然數 n 使得 na＞M 柏：照慣例囉～～～我現在假設 定理2 不成立， 也就是對於 n 屬於所有自然數，存在兩自然數 a、M，使得 na≦M 於是 n≦ M/a ，等等.... n 可是屬於任意的自然數耶 n≦ M/a 不就宣稱自然數系存在最大元素嗎？ 這不就跟我們剛剛證明過的定理1矛盾 -><- 故 定理2 成立 Q.E.D. ---------------------------------------------------- 蘇：看在宙斯（Zeus）的份上，我們應該勇往直前... 柏：但願戴菲爾女神可以預言接下來我們該怎麼走.... 搞了半天的自然數性質，我們真的是走在宙斯庇佑的道路上嗎？ _ 還記得咱們的目標是 0.9 是否等於 1 嗎？ 我們幫愚公移走大山，卻留下自己一堆問題，迷失了方向.... 到目前為止，結論是一無所獲....我得到了什麼？ 蘇：孩子，我懇求你年輕的心不要太過急躁，並且千萬別總想著報償.... 追求真理的過程...本身就是一種享受， 有一件不尋常的事情在荷馬（Homeros）的史詩裡透露給我們.... 《伊利亞特》裡的海倫（Helen），你知道的.... 對每個追求者都懷疑是否真的愛她...或是對她感興趣只是因為王位與財富.... 她要一個丈夫愛她，只是因為她的美麗、機智與嫵媚.... 同樣地....數學只對那些接近她出於純愛，只為了她本身的美顯示她的秘密 如果一個人對於每一步都急切的問：『我能從她得到什麼？』..... 那麼這個人必走不遠。 孩子，或許夢想就在不遠前方，但願我們能更堅忍卓絕..... 柏：偉大的蘇格拉底，您為經師亦為人師，請原諒我的莽動與無理.... 蘇：人生有的是時間懺悔，現在有更重要的事情擺在眼前... 不過我們或許該先感謝一下希帕索斯.... 他讓我們對『數』的認識大開眼界， 我的孩子，大開眼界後的數字王國....成員是哪些呢？ 柏：你看看這樣寫的正不正確.... 自然數 Ｕ 零與負整數 Ｕ 分數 不盡根 Ｕ 超越數 ∣← 有理數 → ∣ ∣← 無理數 →∣ 蘇：就我們所瞭解的是這些了.... 孩子，我但願你不要太奢望從我身上得到什麼答案， 這個期待會讓你失望的.... 『我只知道一件事情，那就是我一無所知』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 柏：請容我隨著您的智慧亦步亦趨了.... 首先，我們『實在的數』....或稱實數好了，現在有兩個集團... 有理數集團 以及 無理數集團， 這兩大聯盟抱在一起構成了『實數王國』！（驚！） 等等....我好像也有『天籟』了.... 原諒我的衝動！再不寫下來我只怕稍縱即逝.... 剛剛我們所論證的 定理2， 如果把『任給兩自然數 a、M』， 改成『任給兩個正實數 x、Y』 定理2 是否為真確呢？ 蘇：我想...咱們已經共識了自然數沒有最大值，這就已經說明了一切.... 數學家會比較喜歡這麼講吧！ 『自然數是上方無界的！』 --------------------------------------- 柏：改良版本 定理2*，也就是... 『任給兩個正實數 x、Y，必定存在一個自然數 n 使得 nx＞Y』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 若是 定理2* 非真！ 那麼依然會造成『最大自然數存在』的荒謬結論....所以定理2*為真 --------------------------------------- 蘇：你的成長真的超乎我的想像.... 所謂...弟子不必不如師，師不必賢於弟子... 老頭子蘇格拉底汗顏，直能說後生可畏... 對了...我還記得你之前所提到的....PTT島上的愛智少年 child， _ 你說他證明了0.9≠1，並且不是用虛無飄渺的『極限術語』 可以再說一點詳情嗎？ 柏：是這樣的....那孩子使用數學歸納法， _ _ 也就是自然數的基本性質證明了 0.9＜1，再根據三一律直接推論0.9≠1 真是聰明的孩子.... 只不過他的家教老師 yonex 宣稱..已在他的論證過程中找到錯誤，但還沒發表... 蘇：嗯....就算yonex找到child證明過程的瑕疵....也並不代表問題被解決了.... 只能說child的證明錯誤而已.... 如今我們花了一個下午的時間，也得到一點收穫... 要不要回頭看看原來的題目，我們已今非昔比.... 即便沒有收集到足夠的工具，勇氣也該醞釀夠了.... 柏：老師，請讓我試著看看.... --------------------------------------------- _ 定理3 0.9＝1 pf： 柏：根據三一律， a＜b ； a＞b ； a＝b 三者必居其一 _ 0.9 顯然不可能大於 1 現在這個定理....變成了『二選一』的問題.... _ 若我能得到 1＜0.9 非真，結論就出來了.... 把精緻武器利用的淋漓盡致，就是貫徹始終地來個『數學歸謬法』 _ 假設 0.9＜1為真， ^^^^^^^^^^^^^^^ _ 令 x＝1－0.9 ＞0 取 Y＝1 好了，根據定理2* ，必定.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 蘇：等等，我的朋友....可以這樣子隨便取x、Y嗎？ 柏：老師，我只要隨便找一個例子，而能讓結果荒謬，證明就完成了... 何況 定理2* 告訴我們，x、Y 只要是大於零的正實數，是可以任意的... 這裡並沒有違反 定理2* 的條件呀！ 弱水三千，我只取一瓢而飲.....請容我繼續下去.... _ 令 x＝1－0.9 ＞0 取 Y＝1 好了，根據定理2*， _ 1 必定存在正整數 n，使得 （10^n）x＞ 1 ， x＝1－0.9＞ --------- （10^n） 1 _ _ 1－ -------- ＞ 0.9 所以 0.9999.......9 ＞ 0.9 (10^n） ∣← n個9 →∣ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ _ 這是個荒謬的結論 矛盾 >-< 故假設 0.9＜1 為非真 _ 0.9＝1 Ｑ.Ｅ.Ｄ. ----------------------------------------------- 老師，我終於完成了..... 您無私而誠摯的循循善誘，我只有感動的說不出話來... 蘇：孩子，智慧的靈光早就已經潛藏在你回憶的深處...我只是把他喚醒而已... 蘇格拉底是個『接生婆』，但絕不是個『填鴨者』， 我只知道我一無所知呀～～～..... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 柏：值此理性綻放光芒的一刻，我壓抑心中的喜悅，不禁悲從中來... 老師....雅典在馬拉松之役戰勝，全城欣喜若狂... 而羅伯奔尼撒之役的慘敗，則恐怕會掀起一陣腥風血雨， 我多麼擔心你的處境，已經有謠言對你不利，當權者似乎想找一個代罪羔羊... 蘇：孩子，我親愛的柏拉圖....他們若殺了我，就很難找到像我這樣子的人了... 容我用粗鄙的口吻來說：我是神賜給這城市的牛蚋.... 牛因肥大而懶惰、遲鈍，需要牛蚋的叮咬刺激， 神把我賜與雅典，讓我隨時催促他們前進，喚醒他們，苦勸、苛責他們 而雅典人卻向一個從沈睡中忽然被喚醒的人那樣，大感憤怒、惱火.... 恨不得立刻置我於死地......從此他們的餘生就可以在渾渾噩噩中度過.... 柏：你已經吞下不少苦藥... 蘇：..... 柏：恐怕藥太苦了.... 蘇：親愛的柏拉圖，我會畏懼什麼呢？ 我吃給你看，我還有一杯毒酒呢！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/23 11:48)
推 luckseven:End..... 03/23 11:51
推 newline:頭推 03/23 12:22
推 wb90:衷心推 03/23 12:29
推 BARGARYARLOO:.......................可以去寫劇本了!! 03/23 13:50
推 sendohandy:推一下，你可以考慮出書耶^^ 03/23 18:45
推 cardioid:太有趣了 Bravo! 03/23 21:58
推 smalldpig:真是太強了 <(_ _)> 03/23 22:48
推 yonex:很難想像真的會有人把他看完！ 我感動到了...@@... 03/23 23:38
> -------------------------------------------------------------------------- < 作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor 標題: Re: [閒聊] 蘇格拉底的數學對話錄 （0.999...＝1？） 時間: Thu Mar 23 13:40:07 2006 根據這篇〈蘇格拉底的數學對話錄〉，同理可以推導出 1＝1.0000..... _ _ 所以 0.9＝1＝1.0 我但願有心想釐清觀念的版友，可以平心靜氣的把那篇文章好好看一下 在過程中一定要有所思考，思考比學習更重要，思考才是真正的學習... 最好是拿紙筆來稍做運算....同蘇格拉底與柏拉圖為友.... 我們身為家教老師，雖然知道學生不可能問這種問題... 並且也知道這樣的解釋對學生負荷太重... 竊以為....老師就是應該比學生更注重水準與要求才是.... 就是應該比學生看的遠看的深才是 （但願各位可以抓出我的漏洞....那篇文章飛快成書，一口氣寫完，可能會有所誤謬） 現在重新更正我們過去所以為的『知識』，以下是修正後的觀念 ----------------------------------- 命題：有理數必可表達為 無窮循環小數 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ a.過去所謂的整除，就是除出來為『整數』 其實整數也是無窮循環小數，定義為：在小數點後第一位做0或9的『單節』無窮循環 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 例如6/2＝3 3＝3.000000.....＝2.99999...... b.過去所謂的『有限小數』 就是定義在小數點某位數（非第一位）後，發生以0或9的『單節』無窮循環 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 例如 3/10＝0.3 0.3＝0.300000000.....＝0.299999....... c.過去所謂的『無窮循環小數』 就是在小數點某位數後，發生以非0或非9為無窮循環 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ _ 1/3＝0.33333333.....＝0.3 （單循環節數） ______ 1/7＝0.142857 142857 142857.....＝0.142857 （六循環節數） 另外，『循環節數』不會超過分母的數字大小..... 例如1/7， 7的餘數只有7個（含0），他的『循環節數』最多能維持6個 （可以想一想這個問題） a、b屬於整數，a≠0，則 b/a 是有理數 有理數必可表為無窮循環小數.....循環節數必小於a -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200
推 bbbing:最後一行好像可以用費馬小定理來證明.... 03/23 15:55
※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/23 22:44)
推 yonex:不可以喔 費馬小定理是有條件的 ^^ 03/24 13:05
> -------------------------------------------------------------------------- < 作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor 標題: Re: [閒聊] 蘇格拉底的數學對話錄 （0.999...＝1？） 時間: Thu Mar 23 23:15:11 2006 : a、b屬於整數，a≠0，則 b/a 是有理數 : 有理數必可表為無窮循環小數.....循環節數必小於a : : : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) : ◆ From: 203.67.107.200 : ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/23 14:09) : 推 bbbing:最後一行好像可以用費馬小定理來證明.... 03/23 15:55 我想應該不需要動用到費馬....況且 我所認知到的費馬小定理是一質數 與 一互質的整數之間的關係 a、b屬於整數，a≠0，則 b/a 是有理數 有理數必可表為無窮循環小數.....循環節數必小於a 我也相信這是每個學生都會有的疑問.... 一般在教國高中生時，通常怎麼解釋呢？ 不外乎舉幾個例子， _ _ ______ 1/3＝0.33...＝0.3 1/5＝0.200...＝0.2 1/7＝0.142857142....＝0.142857 於是『枚舉歸納法』下結論.... 有理數必可表為無窮循環小數.....循環節數必小於分母。 這叫『枚舉歸納法』，或稱為『經驗歸納法』.... 精神與內涵上都和數學歸納法大異其趣 『枚舉歸納法』並不符合科學與理性精神，其結論有時候會錯，有時候會對... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 並且地位越崇高越權威的人，他的『枚舉歸納法』力量就越大.... ex 1：物質都會熱漲冷縮，水是物質 → 所以水也會熱漲冷縮 這當然是錯的，亞里士多德的三段式論證， 本身就是一個既不科學又不邏輯的產物.... ex 2：經驗告訴我們，重的東西往下掉的比較快 ，所以歸納：越重掉的越快！ （又是亞里士多德....@@~） 還有很多例子 族繁不及備載.... -------------------------------- 回到問題 a、b屬於整數，a≠0，則 b/a 是有理數 有理數必可表為無窮循環小數.....循環節數必小於a argue一下，凡不是『有限小數』， b/a都可以得到不為 0 的餘數 （否則為有限小數） 於是繼續長除法下去.... 在過程中所得到一切互不相同的餘數， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 必定是在 1～a－1 之間，就餘數值而言，最多只有 a－1 個可能性 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 意思就是說....最多除 a－1 次，某餘數 s（當然小於a）必定出現第二次 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 而其後餘數都將以 s 第一次出現時，其後各餘數的順序不斷反覆出現， 如此循環節數必小於a..... -- 方孝儒：為學者，始於有所疑....而終乎無所疑矣～～ ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/23 23:16)
推 Dinjang:我倒覺得你的舉例"物質都會熱漲冷縮，水是物質"有問題 03/24 13:07
→ Dinjang:不是所有物質都是熱漲冷縮..你的前提就錯了..... 03/24 13:07
→ Dinjang:第二個例子也是..."經驗告訴我們.."這個經驗前提也是錯的 03/24 13:09
→ Dinjang:除了水之外 鋯元素與鋯鎢酸鹽(Zirconium Tungstate) 03/24 13:12
→ Dinjang:也沒有熱脹冷縮... 03/24 13:12
→ yonex:所以這就是枚舉歸納法的缺陷 他訴諸於直觀... 03/24 13:12
推 yonex:我就是要講他錯呀 枚舉（經驗）歸納幾乎沒有對的機會... 03/24 13:18
推 yonex:這也是亞里斯多德三段式論證的缺陷... 03/24 15:02