推 mercy116:好像我大一學的基數... 04/16 16:54
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作者: ShadowElf (時の迷宮) 看板: tutor
標題: Re: [解題、教材] 無窮多個房間的旅館
時間: Sun Apr 16 12:32:50 2006
這個好像有在楊維哲的課聽過的樣子
不過不是很記得了，我把記得的答案寫一下好了
※ 引述《yonex (這個世界真的有愛情嗎？)》之銘言：
: 對於G.Cantor的超限王國，大數學家Hilbert舉了一個生動而有趣的例子
: 在這裡提供給大家....
: 對於高中數學第一冊第二章〈數的概念〉，是一個有趣且生動的課外補充教材
: 解答請大家幫忙想一想....或是幫忙提供意見囉～～
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: Ｑ1：
: 宇宙中有一間名為Hilbert的旅館，這間旅館具有無窮多個房間，
: 某一天來了一個旅客要check in，不巧旅館『客滿』
: 請問旅館老闆有沒有辦法賺這筆生意？ 他要怎麼安排？
那我們先幫房間編號好了，從1號開始往後編
所以現在每個「正整數」號碼的房間都有住人了
這個時候呢，我們就請每個旅客都搬到下一個號碼的房間
例如原先住第100號房的，請他搬到第101號房，原先住101號房的，請他搬到
102號房這樣
這樣我們就把1號房空出來了，這位旅客就有地方住了
: Ｑ2：
: 同一間旅館，
: 過了幾天又來了100個旅客，很不巧的旅館同樣 fill up？
: 老闆要怎麼安排才能賺這筆生意而不趕走其他旅客呢？
這題跟上一題差不多，我們只要請所有的旅客，往後搬100個號碼
例如原本住123號的客人，請他搬到223號去
這樣就空出了前100個房間了，這些旅客就都有房間住了
: Ｑ3：
: 又是那間客滿的旅館，
: 這次面臨的是：無窮多個旅客逃難式的蜂擁而來....
: 這筆進帳非同小可，旅館老闆有辦法大賺一筆嗎？
: 聰明的你....可否幫老闆想想辦法？
: 別忘了旅館目前客滿，可不能因為這些難民影響房客的權利...
這題跟上一題也差不多，只是搬法不同
我們可以請原先住 n 號房的房客，搬到 2n 號房去
這樣我們就空出了所有的奇數號房間了，當然啦，奇數號房間也有無窮多個
然後請後來這些「難民」按照check in的順序，依序從小的號碼往後住
這樣就可以塞下所有的人了
: Ｑ4：
: 原來宇宙間有無窮多個這種無窮旅館，很不幸的一夕之間通通倒閉...
: 只剩下一間名為Hilbert的無窮旅館還在經營，
: 倒閉那天恰好每一間無窮旅館都住滿了人，
: 現在全部蜂擁而至這個僅存的Hilbert旅館
: 這下糟糕了....
: 現在有.....無窮多個旅行團，而每個旅行團竟然又有無窮多個旅客
: 夜幕低垂了....眼睜睜看一大堆人可憐人難道要露宿街頭、到處流浪嗎？
: 我們得幫老闆想想辦法讓他們住進來....
: 這簡直就是不可能的任務吧....嘖嘖....
好吧，這真的很糟
不然這樣吧，我們就先把這些旅館編號
Hilbert先生的旅館叫做1號好了，然後那些倒掉的旅館叫做2號，3號，4號等等
我們用(1,1)代表原先在1號旅館住在1號房的人
(1,2)代表原先在1號旅館住2號房的人
(2,1)代表原先在2號旅館住1號房的人
(m,n)代表原先在第m號旅館住第n號房的人
然後呢，用下面的順序來讓客人住房
房間號碼 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
住客 (1,1) (2,1) (1,2) (3,1) (2,2) (1,3) (4,1) (3,2) (2,3) (1,4) .....
這樣就可以收到很多很多住宿費了
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以上是我記得的，但是裡面當然有很奇怪的地方，也就是編號
數學上的「無窮」
一種是「可數」的無窮，也就是可以幫每個元素編號
例如正整數就是「可數個」無窮，整數也是，有理數也是
如果可以在無窮集A和正整數之間造一個一對一的映射
那集合A就是「可數個」無窮
無窮又不是可數個的集合，例如[0,1]上的點的個數，沒辦法編號
如果Hilbert的旅館的房間個數不是「可數個」的話，那上面的方法就失效了
也許有更好的觀點可以來看這個問題
總之先拋磚引玉吧，也許有更好的觀點可以看這個問題
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承yonex板友的指點，把文章修改了一些，這樣錯得比較少
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.73.174.61
推 CKStanley:好有趣的題目喔 04/16 16:09
推 wb90:可以借轉嗎? 04/16 21:56
※ 編輯: ShadowElf 來自: 203.73.153.97 (04/16 22:21)
→ ShadowElf:啊要轉請便 04/16 23:54
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作者: fatcats ("月見草油"特價中) 看板: tutor
標題: Re: [解題、教材] 無窮多個房間的旅館
時間: Thu Apr 20 05:32:00 2006
: Ｑ4：
: 原來宇宙間有無窮多個這種無窮旅館，很不幸的一夕之間通通倒閉...
: 只剩下一間名為Hilbert的無窮旅館還在經營，
: 倒閉那天恰好每一間無窮旅館都住滿了人，
: 現在全部蜂擁而至這個僅存的Hilbert旅館
: 這下糟糕了....
: 現在有.....無窮多個旅行團，而每個旅行團竟然又有無窮多個旅客
: 夜幕低垂了....眼睜睜看一大堆人可憐人難道要露宿街頭、到處流浪嗎？
: 我們得幫老闆想想辦法讓他們住進來....
: 這簡直就是不可能的任務吧....嘖嘖....
有人跟我說~~
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讓N搬到2N時~~不是已經產生無窮多個房間了嗎??
那問題四的部分
只要按照CHECK IN的順序
一間一間排進奇數編號的房間裡住~~~
第n位旅客住進(2*n-1)號房間
不就可以住進所有旅客了嗎??
為什麼要(X,Y)的編號方式呢??
題目也沒有要求旅館一定要客滿!?
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嗯~~這樣的說法不知道對不對??
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◆ From: 219.71.247.248
推 yonex:不對喔...你假定無窮多只有一種 事實上無窮多不只一種... 04/20 15:39
→ yonex:要編號的原因，就是為了找出彼此一對一映射關係... 04/20 15:39
→ yonex:如此才能證明這兩個無窮是同一種... 04/20 15:40
→ yonex:事實上 無窮多不只一種，至少就有可數無窮跟不可數無窮... 04/20 15:41
→ yonex:而這也只是其中兩種而已.事實上無窮大有「可數個無窮多種」 04/20 15:41
→ yonex:集合論裡面的連續統公設.... 04/20 15:43
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: [解題、教材] 無窮多個房間的旅館
時間: Fri Apr 21 06:47:31 2006
※ 引述《fatcats ("月見草油"特價中)》之銘言：
: : Ｑ4：
: : 原來宇宙間有無窮多個這種無窮旅館，很不幸的一夕之間通通倒閉...
: : 只剩下一間名為Hilbert的無窮旅館還在經營，
: : 倒閉那天恰好每一間無窮旅館都住滿了人，
: : 現在全部蜂擁而至這個僅存的Hilbert旅館
: : 這下糟糕了....
: : 現在有.....無窮多個旅行團，而每個旅行團竟然又有無窮多個旅客
: : 夜幕低垂了....眼睜睜看一大堆人可憐人難道要露宿街頭、到處流浪嗎？
: : 我們得幫老闆想想辦法讓他們住進來....
: : 這簡直就是不可能的任務吧....嘖嘖....
: 有人跟我說~~
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: 讓N搬到2N時~~不是已經產生無窮多個房間了嗎??
: 那問題四的部分
: 只要按照CHECK IN的順序
: 一間一間排進奇數編號的房間裡住~~~
: 第n位旅客住進(2*n-1)號房間
: 不就可以住進所有旅客了嗎??
: 為什麼要(X,Y)的編號方式呢??
: 題目也沒有要求旅館一定要客滿!?
: ===========================================================
: 嗯~~這樣的說法不知道對不對??
關鍵在於....無窮不只一種！
除非能找到彼此「一對一的映射關係」，
我們才能說：這兩個無窮集合具有同量級個數（基數），也就是一樣多個！
同基數的無窮有一個（悖逆直觀）的奇異的性質：
母體中可以找到「真子集合」，使其包含母體。
例如：正整數（N），顯然是整數（Z）的真子集合
彼此的個數其實是一樣多的（這似乎荒謬，遑論直觀）
證明如下：
.....7 5 3 1 2 4 6 ....
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ....
the mapping as following
1 ; if m=0
f(m)= 2m ; if m>0
-2m+1 ; if m<0
since 1-1 onto ∴Z~N
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以上那個命題恰巧對應於旅館問題的Ｑ3
蜂擁而至的無窮多個新客人就像負整數，被安排到奇數號房間...
原本 1、2、3...號房的房客住進偶數號房...
Ｑ4.表達的是....無窮多個隊伍，裡面都有無窮多個學生
這是無窮多個無窮集合的聯集，實在很難讓我們相信能擠進這間
除非我們能把彼此一對一映射關係，才能說住的進去....
這就是為什麼ShadowElf兄要以(X,Y)的編號方式安排的原因
如此才能造就出那個「不顯然」的一對一映射.....
事實上，這樣的映射類似....有理數（Q） 對應到 正整數（N）
（倒閉的旅館編號放分母，該間旅館的房客編號放分子）
得到的結論是：有理數和正整數是一樣多的（太不可思議了....）
你要說了....這樣感覺起來，光正整數這一種無窮....就無所不包了
其實不然....
如果數線上所有的「點」都在流浪（當然含無理數點）
而且都想住進Hilbert的旅館
（「點」也有人權，也注重隱私，當然也要一「人」一間房）
Hilbert的旅館是無能為力的....
因為實數的個數比正整數多，而且多很多.....無法同日而語！
無論取多麼短的數線（例如：0～0.000001）裡面的點都遠多於Hilbert的旅館房間數
小小的結論是：無窮至少就有兩種：
正整數（N）個數的無窮 和 整數（Z） 和 有理數（Q）是一樣多的...稱「可數無窮」
實數（R）的無窮卻可怕的多，
今天我們把整條數線上，所有的「點」丟到一個桶子裡，
把手放進去伸手撈，一次抓一個點出來.....
抓到有理數的機會幾乎是0（個數相較於實數的無理數，稀少的實在可憐....）
終其一生我們都只會抓到無理數，
無理數的個數和整條實數是一樣多的....稱「不可數無窮」
可別以為無窮只有這兩種....事實上「無窮」有「無窮多種無窮」
方才所提的那兩個分別是最小（少）的前兩名小嘍囉而已.....
這就是大數學家康托（G.Cantor）一手打造的超限王國，
正如同現代物理學不能沒有原子與分子的概念一樣...
康托的超限王國是所有近代數學的理論基石
PS：以上只是一個令人汗顏的粗略概述而已....
我的體力已經不勝負荷，接近言不及義的地步....還是趕快喊停的好...
況且....我懂的東西也是相當有限...>"<
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推 fatcats:嗯~~感謝~~很清楚喔:) 04/21 07:54