推 kh749:我是直接用數學歸納法說他對 04/24 18:09
→ moon0419:如果是在式子是未知的時候呢，有其他方法可以推導出來嗎 04/24 18:11
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: [解題] sum of x平方
時間: Mon Apr 24 18:18:59 2006
※ 引述《moon0419 (叫阮的名)》之銘言：
: n
: Σ k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
: k=1
: 除了利用ax^3+bx^2+cx+d 代n=1,2,3,4解方程式後...
: 有沒有除了這個方法可以推導出來
: 想很久...
先以一次方和為例 1+2+3+.....+n＝S_1
考慮恆等式 (k+1)^2 － k^2=2k+1 k由1到n分別如下：
k=1 (1+1)^2 － 1^2 ＝ 2*1+1
k=2 (2+1)^2 － 2^2 ＝ 2*2+1
......
......
k=n (n+1)^2 － n^2 ＝ 2*n+1
將這n個等式相加 (n+1)^2－1^2 ＝ 2S_1+n
n(n+1)
S_1＝ --------
2
同理可推導二次方和 S_2
(k+1)^3 － k^3 ＝ 3k^2+3k+1
重複上面步驟.....
可得 (n+1)^3－1^3 ＝ 3S_2+3S_1+n
又S_1由先前討論已知....代入可得S_2
n(n+1)(2n+1)
S_2＝ --------------
6
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基於同樣的程序，可以求任意正整數次方和...
通常的數學教科書往往沒有經過探索、推導、發現的過程
就直接列出公式要學生用「數學歸納法」去證明
這就好比沒有經過談戀愛就結婚一樣荒謬 >"<
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◆ From: 203.73.222.200
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.222.200 (04/24 18:19)
推 adchu:推差分法 04/24 18:19
推 moon0419:哇...大感謝...我要的就是這個.. 04/24 18:21
推 juicyworm:推沒有經過談戀愛就結婚 04/24 20:27