推 crazymars:畫準一點的圖 雖然微積分也是幫助你把圖畫準 ORZ 04/11 12:05
推 crazymars:因為指對數函數的微分都會出現自然對數 超出高中範圍 04/11 12:17
→ crazymars:所以只會有是0或2個交點....我都這樣跟學生說 04/11 12:18
推 autnb:x^2=2^x 這題有3個解...有時候勘根勉強湊合著用吧~~ 04/11 12:31
推 yonex:超越方程無法以代數方法求解.... 04/11 15:29
→ yonex:在某些特殊的狀況中 可以用高中方法討論解的個數... 04/11 15:30
推 yonex:而利用分析的方法可以討論更多超越方程解唯一性與存在性問題 04/11 15:40
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: 高中指數與對數
時間: Wed Apr 12 01:15:13 2006
※ 引述《LeonYo (to be executive)》之銘言：
: 請問 x-1 = log x 有幾個實數解?
: ===============================
: (1,0)是一解沒有問題, 但有沒有其他解?
: 我的想法是找 y = log x 在 x=1 的切線斜率
: 再和 y=x-1 (m=1) 的斜率作比較
: 發現 y=x-1 是 y=log x 的割線而非切線
: 因此有兩解..
: ===============================
: 如果不用微分的方法有沒有其他方法呢???
假設你所所題的對數函數，底數是10好了...
（這重要，因為不同的底數，解的個數會不一樣，
在高等數學中，底數不寫通常代表以尤拉數為底）
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不用微分學的方法，可以得到解不具唯一性，但我無法確定解的個數
（假設我是瞎子，只有代數，看不到函數圖形....>"<）
1.f(x)＝x－1－logx f(0.5)＝0.5－1－log(1/2)＝－0.1989＜0
當 x＝0.5時，多項函數 x-1＜ 對數函數 logx
logx
極限 lim ------＝0 when x→∞
x-1
故x足夠大時..多項式函數保證會超越對數函數，故解不具唯一性...
2.f(x)＝x－1－logx
f(0.01)＝0.01－1－log0.01＝1.01＞0
又 f(0.5)＝0.5－1－log(0.5)＝0.5－1－log(1)＋log(2)＝－0.1989＜0
f(x)在x＞0為連續函數，根據勘根定理，在 0.01＜x＜0.5 必存在根
又f(1)＝0 為顯然解
所以至少有兩異實數解。
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1、2法套句數學家華羅庚老師講的：數缺形少直覺。
明明我們有解析幾何的....而且我們也有眼睛！
解的個數當然可以『確定』（含直觀成分）
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3.數值法（可得解，不過數值程序已利用到微分學）
4.圖解法直觀看解的個數
如果沒用先前1、2的代數方法去分析，
那麼只怕陰翳在心，障礙在目....形缺數難入微，肉眼不總是可以看穿真相的...
etc....
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數缺形時少直覺，形缺數時難入微。形數結合百般好，隔裂分家萬事非呀～
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.73.201.47
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.201.47 (04/12 02:15)