→ yonex:題目好像有一點點大 先討論唯一解好了 04/12 02:58
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.201.47 (04/12 03:33)
推 vu3cj0su3:這個問題已困擾我許久...orz 04/12 06:30
→ vu3cj0su3:沒想到終於有人提出來討論囉！ 04/12 06:31
推 yonex:問題是沒有人解呀～～嘖嘖....@@~ 04/12 19:56
推 jeaopal:好像有一期的數學傳播有人研究 大約是去年的三四月左右 04/14 01:17
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作者: Dirichlet (微風輕吹) 看板: tutor
標題: Re: 一題方程式求解實根個數
時間: Thu Apr 13 09:16:16 2006
※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: 就不同a值討論下列方程式實數解的個數（當然可以使用微分學）
: a^x＝log(a,x) a表底數
這題因為有幾個 claim 我沒證認為對直接跳過衝結論,希望大家幫忙檢查一下.
只須討論滿足 x>0, a>0 and a≠1 這樣的 (a,x) 即可
結論作出來是這樣 :
1. If x > 0 and a > e^(1/e) => log(a,x) < a^x
2. If x > 0 and a = e^(1/e) => log(a,x) = a^x 有唯一解在 x = e.
3. If x > 0 and 1 < a < e^(1/e) => log(a,x) = a^x 有兩解 x_1, x_2,
且 x_1 > e and 1 < x_2 < e
4. If x > 0 and 0 < a < 1 => log(a,x) = a^x 有唯一解 x 且 x ≦ 1
我的 work 大概如下 :
claim 1. log(a,x) < x <=> x < a^x for a>1
claim 2. If there exists p>0, then log(a,p) = p <=> p = a^p
log(a,x) < x => log(x)/x < log(a), 易知 log(x)/x 從 x>0 開始嚴格遞增至 x=e,
此時最大值 1/e 發生, 接著嚴格遞減, 就是 -oo ↗ 1/e ↘ 0.
故當 a > e^(1/e) 時由 claim 1 知 log(a,x) < x 和 x < a^x 同時發生 for all x,
即 log(a,x) < a^x for all x, 結論 1 成立.
考慮 y = log(x)/x 和 y = log(a) 兩個圖形的交點, 由 claim 2 得結論 2 3 4.
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◆ From: 140.112.217.78
推 yonex:真好 晚點回來我PO上我的結論 大家討論一下... 04/13 16:28
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: 一題方程式求解實根個數
時間: Fri Apr 14 02:39:35 2006
※ 引述《yonex (這個世界真的有愛情嗎？)》之銘言：
: ※ 引述《Dirichlet (微風輕吹)》之銘言：
: : 這題因為有幾個 claim 我沒證認為對直接跳過衝結論,希望大家幫忙檢查一下.
: : 只須討論滿足 x>0, a>0 and a≠1 這樣的 (a,x) 即可
: : 結論作出來是這樣 :
: : 1. If x > 0 and a > e^(1/e) => log(a,x) < a^x
: : 2. If x > 0 and a = e^(1/e) => log(a,x) = a^x 有唯一解在 x = e.
: : 3. If x > 0 and 1 < a < e^(1/e) => log(a,x) = a^x 有兩解 x_1, x_2,
: : 且 x_1 > e and 1 < x_2 < e
: : 4. If x > 0 and 0 < a < 1 => log(a,x) = a^x 有唯一解 x 且 x ≦ 1
: : 我的 work 大概如下 :
: : claim 1. log(a,x) < x <=> x < a^x for a>1
: : claim 2. If there exists p>0, then log(a,p) = p <=> p = a^p
: : log(a,x) < x => log(x)/x < log(a), 易知 log(x)/x 從 x>0 開始嚴格遞增至 x=e,
: : 此時最大值 1/e 發生, 接著嚴格遞減, 就是 -oo ↗ 1/e ↘ 0.
: : 故當 a > e^(1/e) 時由 claim 1 知 log(a,x) < x 和 x < a^x 同時發生 for all x,
: : 即 log(a,x) < a^x for all x, 結論 1 成立.
: : 考慮 y = log(x)/x 和 y = log(a) 兩個圖形的交點, 由 claim 2 得結論 2 3 4.
: 我跟Dirichlet獲致的結論不一樣....這讓我沈思自己是否犯的嚴重的錯誤
: 嗯，我剛剛算了一遍，沒有檢算
: 不管了，我先把結果寫出來，過程壟長暫時無法附上了（等我鼓足勇氣...）
又算了一遍，過程蠻繁瑣的，找個時間我再公佈好了....
我最新的結果如下：
一. 0＜a＜e^(-e)，有1～3個根
二. a＝e^(-e)時，有且僅有一根是x＝1/e
三. e^(-e)＜a＜1，有且僅有一根
四. 1＜a＜e^(1/e)，恰有兩個根，分別介於區間（1,e）與（e,＋∞）
五. a＝e^(1/e)，有且僅有一根是x＝e
六. a＞e^(1/e)，無解
Note：
其中第一個結論具有不確定性，
這需要數值方法（軟體）給我進一步的訊息，純用解析與算術無法克服
我只能肯定說 0＜a＜e^(-e) 至少一個根，至多為三個根。
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◆ From: 203.73.222.115
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.222.115 (04/14 02:45)
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: 一題方程式求解實根個數
時間: Fri Apr 14 03:28:31 2006
※ 引述《Dirichlet (微風輕吹)》之銘言：
: ※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言：
: : 就不同a值討論下列方程式實數解的個數（當然可以使用微分學）
: : a^x＝log(a,x) a表底數
: 這題因為有幾個 claim 我沒證認為對直接跳過衝結論,希望大家幫忙檢查一下.
: 只須討論滿足 x>0, a>0 and a≠1 這樣的 (a,x) 即可
: 結論作出來是這樣 :
: 1. If x > 0 and a > e^(1/e) => log(a,x) < a^x
: 2. If x > 0 and a = e^(1/e) => log(a,x) = a^x 有唯一解在 x = e.
: 3. If x > 0 and 1 < a < e^(1/e) => log(a,x) = a^x 有兩解 x_1, x_2,
: 且 x_1 > e and 1 < x_2 < e
: 4. If x > 0 and 0 < a < 1 => log(a,x) = a^x 有唯一解 x 且 x ≦ 1
: 我的 work 大概如下 :
: claim 1. log(a,x) < x <=> x < a^x for a>1
: claim 2. If there exists p>0, then log(a,p) = p <=> p = a^p
: log(a,x) < x => log(x)/x < log(a), 易知 log(x)/x 從 x>0 開始嚴格遞增至 x=e,
: 此時最大值 1/e 發生, 接著嚴格遞減, 就是 -oo ↗ 1/e ↘ 0.
: 故當 a > e^(1/e) 時由 claim 1 知 log(a,x) < x 和 x < a^x 同時發生 for all x,
: 即 log(a,x) < a^x for all x, 結論 1 成立.
: 考慮 y = log(x)/x 和 y = log(a) 兩個圖形的交點, 由 claim 2 得結論 2 3 4.
除了在 0 < a < 1，我們得到了一樣的結論
考慮0 < a < 1，我的粗略論述如下：
令 f(x)＝a^x－log(a,x)
f'(x)＝a^x(lna)－1/(xlna)
1
由f'(x)＝0 得出 xa^x＝ --------- (＊)
(lna)^2
現在要檢驗（＊）有幾個根，先設 g(x)＝xa^x－1/(lna)^2
由g'(x)＝0 得到 x＝-1/lna。
0 < a < 1時有 x＝-1/lna＞0
所以當x＞-1/lna時，g'(x)＜0 即g(x)為單調遞減
當x＜-1/lna時，g'(x)＞0 即g(x)為單調遞增
由於g(-1/lna)＝(-1/lna)(1/e＋1/lna)
那麼當
1. a＝e^(-e)時 g(-1/lna)＝0
2. e^(-e)＜a＜1 g(-1/lna)＜0
3. 0＜a＜e^(-e) g(-1/lna)＞0
然後依這三段開始進行討論.....
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1.以下無法再寫下去了，有點繁瑣，恐怕到天亮也寫不完....
箇中滋味留給諸君去體會吧！
2.運用到的概念其實不深，
除了0＜a＜e^(-e) 這一段較為複雜困難些，
其餘五段討論，讀舊教材的高三學生是可以解決的...
只是我這個嫩逼搞蠻久的....orz
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◆ From: 203.73.222.115
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.222.115 (04/14 04:00)
推 Dirichlet:我在用 claim2 時犯了一個邏輯上的錯誤 04/15 01:42
→ Dirichlet:導致"至少存在幾個"被我理解成"唯一存在幾個" 04/15 01:43
→ Dirichlet:重新驗算後我們的結論一致 :P 04/15 01:44
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: 一題方程式求解實根個數
時間: Sat Apr 15 16:38:14 2006
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: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 203.73.222.115
: ※ 編輯: yonex 來自: 203.73.222.115 (04/14 04:00)
: 推 Dirichlet:我在用 claim2 時犯了一個邏輯上的錯誤 04/15 01:42
: → Dirichlet:導致"至少存在幾個"被我理解成"唯一存在幾個" 04/15 01:43
: → Dirichlet:重新驗算後我們的結論一致 :P 04/15 01:44
會提出這一個問題，乃是因為前陣子板友jubilee提過(12837篇)
並且同我討論...
在下當時算出的答案和他一致，後來驚覺問題沒有這麼簡單
（他提供的答案是不完整的...）
後來版主LeonYo提了一個超越方程求解實根個數問題，
讓我又想起這個『數與形』問題，決定含淚把他解決....
剛剛經由jeaopal的指引，
總算找到中研院的某一期數學傳播季刊，的確曾經有老師做過這方面的研究...
結論跟Dirichlet和我的一致，研究的文章連結如下
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d284/28402.pdf
果然，0＜a＜e^(-e)這個區間的處理的確需要數值方法（軟體）才能完全確定...
我覺得這一題也算蠻適合高中資優生做競賽科展題目...
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◆ From: 203.73.243.193
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.243.193 (04/15 16:55)