推 adchu:可以用方程式解釋吧 05/24 17:43
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作者: wit26 (我怎麼這麼龜毛 ) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 多項式
時間: Wed May 24 18:39:59 2006
※ 引述《gog8okikuma (爆掉了)》之銘言：
: 最近被問到一個問題
: 想了好久仍想不出好的解釋方法
: 題目大略敘述f(x)和g(x)皆是n次多項式
: 其中f(a1)=g(a1)，f(a2)=g(a2)，f(a3)=g(a3)，.......f(an)=g(an)
: ，f(an+1)=g(an+1)
: 則f(x)=g(x)
: 記得這好像是多項式恆等式定理
: 敝人曾用圖形的方式(但只能解釋2次以下，2次以上就.....冏掉了)
: 因為敝人只是個小小的高職重考生...
: 想徵求兩個作法 一個是能解釋給高職生聽的方法(這是解釋給我同學用)
: 另一個是嚴謹的證明方法(這是我想了解的)
: 感激!
h(x)=f(x)-g(x)
其中f(a1)=g(a1)，f(a2)=g(a2)，f(a3)=g(a3)，.......f(an)=g(an)
，f(an+1)=g(an+1)
故 h(a1)=h(a2)=h(a3)=....=h(an+1)=0
h(x)為一個不大於n次的多項式 且h(x)有n+1個根
所以 h(x)=0
故 f(x)=g(x)
我不知道嚴不嚴謹
供你參考囉
有錯請指教
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◆ From: 140.113.179.219
推 gog8okikuma:thx~~ 05/24 19:27
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作者: armopen (考個沒完) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 多項式
時間: Sun May 28 00:55:00 2006
: h(x)=f(x)-g(x)
: 其中f(a1)=g(a1)，f(a2)=g(a2)，f(a3)=g(a3)，.......f(an)=g(an)
: ，f(an+1)=g(an+1)
: 故 h(a1)=h(a2)=h(a3)=....=h(an+1)=0
: h(x)為一個不大於n次的多項式 且h(x)有n+1個根
這邊可以再寫得嚴謹一點，簡單講，
由因式定理： a 為 g(x) = 0 之一根 <=> (x-a)|g(x)
故 (x-a_i) | h(x) for all i = 1 to n+1.
由除法算則：若 f(x), g(x) in R[x] 且 g(x) 不等於 0 , 則 存在唯一 q(x), r(x)
in R[x] 使得 f(x) = g(x)q(x) + r(x)
其中 r(x) = 0 或 deg r(x) < deg g(x)，
因為 deg (x-a_1)(x-a_2)...(x-a_(n+1)) = (n+1) > n = deg h(x)
故 h(x) = 0。
Note：除法算則和因式定理都需要證明，有興趣的話可以參考
J. B. Fraleigh 的 A first course Abstract Algebra.
: 所以 h(x)=0
: 故 f(x)=g(x)
: 我不知道嚴不嚴謹
: 供你參考囉
: 有錯請指教
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