1、N=19^88 - 1,試求N的正因數中,型如 (2^x)(3^y)的正因數的總和(x>0,y>0的條件)
答：744
有看到別人的解法如下
19^88-1 =(2*9+1)^88-1
展開以後只剩C(88,1)(2*9)+C(88,2)(2*9)^2+....
+C(88,87)(2*9)^ {87}+C(88,88)(2*9)^{88}
整理必能得到 (8*2*9)(11+.....) 所以最高形式為2^5*3^2
所以總和為(2+4+8+16+32)*(3+9)=744
疑問：為何最高形式不是2^4*3^2？
2、已知a 為方程式 x^3 - x^2 + x + 2 = 0,b = -a^2 + 2a + 1
(1)試寫出以b為一根的有理係數方程式 (2)1/b (以 a 的多項式表示)
3、設f(a)為a之各位數字中非零數之倒數和,Sn = sum(f(a)),n = 1 to 10^n,
試求Sn為整數時,n之最小值 答：63
謝謝大家幫忙~
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◆ From: 210.60.253.128
※ 編輯: wanttobe 來自: 210.60.253.128 (05/25 10:48)
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作者: doa2 (邁向高手之路) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 請大家可以幫忙看一下解
時間: Thu May 25 10:52:17 2006
※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
: 1、N=19^88 - 1,試求N的正因數中,型如 (2^x)(3^y)的正因數的總和(x>0,y>0的條件)
: 答：744
: 有看到別人的解法如下
: 19^88-1 =(2*9+1)^88-1
: 展開以後只剩C(88,1)(2*9)+C(88,2)(2*9)^2+....
: +C(88,87)(2*9)^ {87}+C(88,88)(2*9)^{88}
: 整理必能得到 (8*2*9)(11+.....) 所以最高形式為2^5*3^2
: 所以總和為(2+4+8+16+32)*(3+9)=744
: 疑問：為何最高形式不是2^4*3^2？
如果你改成(4*5-1)^88
展開就變成C(88,88)(4*5)^88+...+C(88,2)(4*5)^2-C(88,1)(4*5) 最後一項跟1消去
這樣最後一項可提出2^5 倒數第二項也可以
當然倒數第三項以前都可以
: 2、已知a 為方程式 x^3 - x^2 + x + 2 = 0,b = -a^2 + 2a + 1
: (1)試寫出以b為一根的有理係數方程式 (2)1/b (以 a 的多項式表示)
: 3、設f(a)為a之各位數字中非零數之倒數和,Sn = sum(f(a)),n = 1 to 10^n,
: 試求Sn為整數時,n之最小值 答：63
: 謝謝大家幫忙~
此題想法類似於排列組合的各位數字和的題目
我們看1~10^n這些數的個位數 1出現10^(n-1)次 2也出現10^(n-1)次..類推
因此個位數非零倒數和= (1+1/2+1/3+...1/9)*10^(n-1)
同理每個位數倒數和都一樣 故為 n(1+1/2+1/3+...1/9)*10^(n-1)
又1+1/2+1/3+...1/9通分後分母應為2^3*3^2*5*7
但是只要n>=4 2跟5就會被10^(n-1)消掉
因此要消去3^2跟7 n至少要為63..
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◆ From: 219.84.128.123
※ 編輯: doa2 來自: 219.84.128.123 (05/25 11:03)