推 huangtim:4mn,請指教 06/12 18:55
推 vu3cj0su3:可以po過程嗎? (但他給的答案不是4mn ><) 06/12 18:55
推 seedpig:2n+(2n+m+1)*m/2 隨便亂寫 :P 06/12 23:04
推 vu3cj0su3:答案也不是這個耶@@ "希望有人願意分享作法給大家討論 06/13 00:23
推 seedpig:哈，我後來想一下也不對 因為答案沒對稱性 06/13 08:15
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作者: huangtim (消失) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 直線分割平面問題
時間: Tue Jun 13 03:01:30 2006
※ 引述《vu3cj0su3 (準台科大新鮮人XD)》之銘言：
: 平面上有m條相異直線L1,L2,...,Lm共交於一點M,又有n條相異直線K1,K2,...
: ,Kn共交於另一點N,假設任一Li皆不通過N,任一Kj皆不通過M,且任一對Li.Kj
: 皆不平行,試求這m+n條直線將平面分割成幾個區域? (以m,n表示)
: 感謝~
兩種思考方向
第一種,假設只有一個點系統
n條相異直線K1,K2...Kn相交一點N
1線 -> 平面被切為兩個區域
2線 -> 平面被切為四個區域
...
n線 -> 平面被切為2n的區域
完成一個點系統之後,再考慮另一個點系統
m條相異直線L1,L2...Ln相交一點M
慢慢增加這個點系統的元素個數,觀察其變化
系統中任一線不與N系統中任一線平行,也不通過N點,故一定與N系統中所有的線條相交
添加一線,原有2n個區域,會被畫為4n個區域 (個人認為這邊有問題,還需要在修正)
2線 -> 8n個區域
...
m線 -> 4nm個區域
以上是第一個有瑕疵的想法~
第二個想法是放棄兩個點系統的方式
首先觀察一個點有兩條線通過的系統,會發現被劃分成4個區域
因此可以推測,若N系統中任挑一線與M系統中任挑一線,必交於一點
對該點而言,就是一個點有兩條線通過的系統,因此有四個區域
因此N系統挑一下 C的N取1 * C的M取1 * 4 = 4mn
以上是最開始的第二想法
第三個想法是我剛剛想到的,從第二想法延伸而來
由於我僅考慮兩條線相交創造出來的點,別忘了還有最初的N點與M點
所以融合上面兩種想法,應該會有4mn + 2n + 2m的區域
其中4mn是針對非N,M的點系統切割區域數量
2n是N點附近的區域切割數量,由於一定可以找到一個適當的區域
以M系統中的線構成邊壁,使的區域內只有N系統的n條線將此區域切成2n個區域
對M點同理可證
所以答案應該是2(m + 2mn + n)
結束
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◆ From: 59.104.6.93
※ 編輯: huangtim 來自: 59.104.6.93 (06/13 03:03)
→ huangtim:坦白說我覺得還是有瑕疵,因為區域會重複計算 06/13 03:09
推 vu3cj0su3:你的第一個想法跟我的蠻類似 06/13 03:21
→ vu3cj0su3:先固定一個系統 嘗試找另一個系統的增加數 06/13 03:22
→ vu3cj0su3:不過 還是卡住了 >< 06/13 03:22
→ vu3cj0su3:你的答案跟它給的正解算是接近的了.. 06/13 03:23
推 huangtim:若M系統只有1線: n+2mn+1 06/13 04:52
推 seedpig:這次我算出來了 2n+nm+2m-1 (這次比較有信心點) 06/13 08:41
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作者: seedpig (這世界太過於無聊) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 直線分割平面問題
時間: Tue Jun 13 08:53:14 2006
huangtim 大 po的瑕疵是
n=2 m=2 為例就破功
主要精神 n 所圍出的4個區域
m線 第一條畫下去 最多只經過三個 (不可能4個都通過)
至於第二個想法
一點可分成四個區域
但有些區域可能是 4邊形
這樣 會 cover 到
又 N .M 兩點 又相鄰許多區塊
基本上 我覺得 po 題目 不給答案 是件不禮貌的事
就像解題不po過程一樣
原本懶得解
尤其 像這種歸納題 有答案 大家在想比較會有個方向
回到正題
首先 n 條會建立 2n個區域 這沒問題
先把問題簡單化
n=2 m=3
n先創出四個區域
m 畫第一條 最多經過3個區域 (經過幾個區域 就會使那個區域一分為二)
m 畫第二條 最多經過4個區域
m 畫第三條 最多經過4個區域
..................依此類推
可大膽假設
m 第一條 會經過 n+1 區域
m 第二條以後 都經過 n+2 區域
所以算式
2n+n+1+(n+2)*(m-1)=2n+nm+2m-1
這種問題 錯的機會滿高的 哈
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◆ From: 218.165.85.80
※ 編輯: seedpig 來自: 218.165.85.80 (06/13 09:16)
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作者: vu3cj0su3 (準台科大新鮮人XD) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 直線分割平面問題
時間: Tue Jun 13 10:20:50 2006
※ 引述《seedpig (這世界太過於無聊)》之銘言：
: huangtim 大 po的瑕疵是
: n=2 m=2 為例就破功
: 主要精神 n 所圍出的4個區域
: m線 第一條畫下去 最多只經過三個 (不可能4個都通過)
: 至於第二個想法
: 一點可分成四個區域
: 但有些區域可能是 4邊形
: 這樣 會 cover 到
: 又 N .M 兩點 又相鄰許多區塊
: 基本上 我覺得 po 題目 不給答案 是件不禮貌的事
: 就像解題不po過程一樣
: 原本懶得解
: 尤其 像這種歸納題 有答案 大家在想比較會有個方向
: 回到正題
: 首先 n 條會建立 2n個區域 這沒問題
: 先把問題簡單化
: n=2 m=3
: n先創出四個區域
: m 畫第一條 最多經過3個區域 (經過幾個區域 就會使那個區域一分為二)
: m 畫第二條 最多經過4個區域
: m 畫第三條 最多經過4個區域
: ..................依此類推
: 可大膽假設
: m 第一條 會經過 n+1 區域
: m 第二條以後 都經過 n+2 區域
: 所以算式
: 2n+n+1+(n+2)*(m-1)=2n+nm+2m-1
: 這種問題 錯的機會滿高的 哈
首先 我先為"po 題目 不給答案 是件不禮貌的事"向你道歉
這題目是補習班另一位數學輔導老師問我的
我跟他都是某小小間補習班的輔導老師
據他所述 這題目是很早期大學聯招考題 並沒有附答案
而我手上有的答案 是他同學算出來的 並不是很確定
剛剛看了一下你的分析 基本上沒有太大的問題
答案也和我手上的一樣
對於你的分析 我想了一個證明的方式
step1
m=1 可分割二個區域
m=2 可分割四個區域
.
.
. 以此類推可知
m條直線,可分割平面2m的區域
固定完m後 我們可以對n做數學歸納法 (引用你的正解2n+nm+2m-1)
step2
當n=1時,K1與L1,L2,....,Lm有m個交點,可再增加m+1個區域,
即2m+(m+1) = 2*1+1*m+2m-1
∴原式成立
假設n=t(t為自然數).令原式成立,即K1,K2,.....Kt與L1,L2,...Lm將平面
劃分成2t+tm+2m-1個區域
則當n=t+1時,K1,K2,....Kt,Kt+1與L1,L2,...Lm中的"Kt+1"與L1,L2,...Lm有
m個交點,又與K1,K2,.....Kt共點,故增加m+1個交點,則增加n+2個區域
故可分割平面
(2t+tm+2m-1)+m+2=2(t+1)+(t+1)m+2m-1
∴原式成立
故by數學歸納法 原命題得證
上述的主要概念 s大上篇都有提到
只不過我把它寫成制式化的証明!
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◆ From: 59.112.213.204
推 crazymars:我其實比較好奇為什麼m=0帶出來不是2n 06/13 10:43
推 LeonYo:因為這個式子不討論m=0的情形啊 06/13 10:52
推 LeonYo:我的意思是這個式子只對m大於等於2成立 06/13 10:56
推 seedpig:等於一就成立了... 06/13 11:04
推 LeonYo:哦，對... 06/13 11:19
※ 編輯: vu3cj0su3 來自: 59.112.213.204 (06/13 14:55)
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作者: LeonYo () 看板: tutor
標題: Re: [解題] 直線分割平面問題
時間: Tue Jun 13 10:10:36 2006
(i) m條直線L_i(1≦i≦m)相交於M，共可作出2m個區域。
(ii) n條直線K_j(1≦j≦n)相交於N，且K_j皆不通過M，
在畫完L_i後，先畫K_1，發現K_1和n條L_i有m個交點，
所以K_1被分成(m+1)段，通過(m+1)個區域，所以增加(m+1)個區域。
(iii) 再作K_j(2≦j≦n), 每個K_j和原來的線都會有(m+1)個交點，
所以K_j(2≦j≦n)都被分成(m+2)段，都會通過(m+2)個區域，
都會增加(m+2)個區域。
(iv) 綜合以上，共有 2m + (m+1) + (n-1)(m+2)
= 2m + n(m+2) -1
= 2m + mn + 2n -1
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給答案我會偷瞄到，
如果需要答案跟原po說就是嘍
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◆ From: 203.67.150.82
→ LeonYo:我的作法跟樓上沒有不同嘛﹨(╯▽╰)∕ 06/13 10:11
→ LeonYo:只是他的最後一段大膽假設，但那是對的 06/13 10:12
推 vu3cj0su3:哈哈 我重複了... 06/13 10:21