[高中] 請教排列組合

[sendohandy (11..歡樂世紀板!!)]

1. (x+x^2+x^3+......+x^6)^10，求x^35的係數   沒答案

2. (1+x+x^2+...+x^8)^10，求x^6的係數  答案：H(10,6)=5005

3. (1+x+x^2+x^3)^6，求x^6的係數　答案：336

我想請問的是，這三個題目都很類似，不過又有那麼一點不同
這邊算是重覆組合與多項式定理的部份
不太知道第二題的H(10,6)是怎麼樣的概念轉換
又套用在第三小題並不適合，或者需要再稍微修正 (註：336=8*7*6)
希望高手能幫忙給點方向，感謝。

因為數學板最近都是考研究所的人上來問問題
所以也po到這邊來，希望高手們能幫忙唷..
--
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◆ From: 218.168.203.37
※ 編輯: sendohandy      來自: 218.168.203.37       (03/21 20:24)

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作者: moorhsum (Happy birthday, PTT) 看板: tutor
標題: Re: [高中] 請教排列組合
時間: Tue Mar 21 21:56:17 2006

※ 引述《sendohandy (11..歡樂世紀板!!)》之銘言：
: 1. (x+x^2+x^3+......+x^6)^10，求x^35的係數   沒答案
: 2. (1+x+x^2+...+x^8)^10，求x^6的係數  答案：H(10,6)=5005
: 3. (1+x+x^2+x^3)^6，求x^6的係數　答案：336
: 我想請問的是，這三個題目都很類似，不過又有那麼一點不同
: 這邊算是重覆組合與多項式定理的部份
: 不太知道第二題的H(10,6)是怎麼樣的概念轉換
: 又套用在第三小題並不適合，或者需要再稍微修正 (註：336=8*7*6)
: 希望高手能幫忙給點方向，感謝。
: 因為數學板最近都是考研究所的人上來問問題
: 所以也po到這邊來，希望高手們能幫忙唷..


我覺得這個問題13比較難   2比較基本

原因在於你可以把２想像成是

ex. 2. (1+x+...+x^8)*(1+x+...+x^8)*...(1+x+...+x^8)   共十個

　　　　而每個可以提供最多8 最少0

        來給出最後的次方數

　　　　因此這問題等價於 w1 + w2 + ......+ w10 = 6

        的非負整數解個數　　所以是H(10,6)

        因為這裡所求的係數是六的　而我們每個可以提供到八

        所以相當於沒有其他限制

　　　　

　　　　因此３，同理，即H(6,6).......但是........

        因為這裡x1~x6最大只能是３

        所以要扣掉某數超過３的解的個數(好在不可能有兩個超過三的數)

        這相當於其他五數小於等於２的解個數

        所以是H(6,6)-6*H(6,2) = 336

最後是第一題

        理論上可以用同樣的方法

        先簡化變成x^10*(1+x+x^2+...+x^5)^10

        求(1+x+..+x^5)^10的x^25係數

        x1~x10最大只能是５

        不過....這情況好像很複雜XD

        還是請高手看看有沒有比較簡單的方法

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◆ From: 218.166.205.149
→ TwoOneboy:第一題可以用排容來算 跟搭船過河問題類似
推 sendohandy:感謝原po和推文的21男～～^_^
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作者: moun9 (hi.) 看板: tutor
標題: Re: [高中] 請教排列組合
時間: Thu Mar 23 00:39:26 2006

※ 引述《moorhsum (Happy birthday, PTT)》之銘言：
: ※ 引述《sendohandy (11..歡樂世紀板!!)》之銘言：
: : 1. (x+x^2+x^3+......+x^6)^10，求x^35的係數   沒答案
: : 2. (1+x+x^2+...+x^8)^10，求x^6的係數  答案：H(10,6)=5005
: : 3. (1+x+x^2+x^3)^6，求x^6的係數　答案：336
: : 我想請問的是，這三個題目都很類似，不過又有那麼一點不同
: : 這邊算是重覆組合與多項式定理的部份
: : 不太知道第二題的H(10,6)是怎麼樣的概念轉換
: : 又套用在第三小題並不適合，或者需要再稍微修正 (註：336=8*7*6)
: : 希望高手能幫忙給點方向，感謝。
: : 因為數學板最近都是考研究所的人上來問問題
: : 所以也po到這邊來，希望高手們能幫忙唷..
: 我覺得這個問題13比較難   2比較基本
: 原因在於你可以把２想像成是
: ex. 2. (1+x+...+x^8)*(1+x+...+x^8)*...(1+x+...+x^8)   共十個
: 　　　　而每個可以提供最多8 最少0
:         來給出最後的次方數
: 　　　　因此這問題等價於 w1 + w2 + ......+ w10 = 6
:         的非負整數解個數　　所以是H(10,6)
:         因為這裡所求的係數是六的　而我們每個可以提供到八
:         所以相當於沒有其他限制
: 　　　　
: 　　　　因此３，同理，即H(6,6).......但是........
:         因為這裡x1~x6最大只能是３
:         所以要扣掉某數超過３的解的個數(好在不可能有兩個超過三的數)
:         這相當於其他五數小於等於２的解個數
:         所以是H(6,6)-6*H(6,2) = 336
: 最後是第一題
:         理論上可以用同樣的方法
:         先簡化變成x^10*(1+x+x^2+...+x^5)^10
:         求(1+x+..+x^5)^10的x^25係數

        其實只要扣掉不合狀況就可以, 就是扣掉超過5次的

       H(10,25) - C(10,1)．H(10,19) + C(10,2)．H(10,13) - C(10,3)．H(10,7)

       + C(10,4)．H(10,1) = 4395456

       題目應該不複雜, 但是計算過程的確是相當複雜..






:         x1~x10最大只能是５
:         不過....這情況好像很複雜XD
:         還是請高手看看有沒有比較簡單的方法

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◆ From: 59.113.171.236