推 moorhsum:女生期望值算得不對 用差比算是1 所以1:1 03/27 18:27
推 jubilee:謝謝您的回應，不過我不太懂您的意思，可以請您多說明嗎？ 03/27 22:30
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作者: Bluetease (布魯踢死) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 機率一問
時間: Thu Mar 30 11:31:07 2006
※ 引述《jubilee (Liang)》之銘言：
: 這（又）是TAS的高一題目orz 麻煩大家囉～
: Q：假設台灣有一種新的人口政策
: 就是說每對夫妻在生下第一胎男嬰前 可以無限制的生女嬰
: （亦即，如果第一胎是男嬰就不能再生了，可以生到有兒子為止）
: 請問這個政策施行很長一段時間後，男女生的比例為何？
: 我的作法：
: 男生的期望值=1*(1/2)+1*(1/2)*(1/2)+1*(1/2)*(1/2)*(1/2)+....
: 男 女 男 女 女 男
: infinity
: =sigma (1/2)^n
: n=1
: =1
: 女生的期望值=0*(1/2)+1*(1/2)*(1/2)+2*(1/2)*(1/2)*(1/2)+....
: infinity
: =sigma (n-1)*(1/2)^n
: n=1
: 然後我就不會化簡了....不過可以知道這個數列->1/2 因此級數發散
: （用比值檢驗法可知）
: 想請問大家的是：1. 我的作法正確嗎？因為這樣的結論是 男/女=0??(as n->inf)
: 2. 他們在課堂上是用亂數作實驗（假設最多十代） 得到大概1:1
假設每個家庭都只有一個小孩，如果有一男一女，則稱為0.5男0.5女。
一男兩女則稱為1/3男，2/3女，一男三女則稱為1/4男，3/4女。
有1/2的機率在第一胎生男，1/4的機率在第二胎生男，1/8的機率在第三胎生男，
則生出的男生數期望值為
1/2 + (1/2)^2*1/2 + (1/2)^3*1/3 + ........
= Sigma ( (1/2)^k * (1/k) )
k=1 to inf.
────感謝yonex大提供此積分之解答^__^────
1 1
Σ-------＜Σ -----＝1
k2^k 2^k
故級數收斂
x^(k-1)
考慮 Σ ---------
2^k
x^(k-1) x^k
∫Σ ---------dx = Σ ------- 收斂半徑與上式一樣
2^k k(2^k)
1
---
1 2 |1
故代 x=1 收斂至 ∫---------- dx = -ln(2-x)| = ln2
0 x |0
1 - ---
2
────感謝yonex大提供此積分之解答^__^────
故生男機率為ln2 = 0.693
生女機率為 1 - ln2 = 0.307
男女之比為2.26
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BTW，這個題目忽略了一個狀況，就是某些家庭可能生了兩胎都是女生，就不生了。
按照題意，如果一直生不出男生，就得一直一直生下去。
而且直到老死，一定要生出一個男生為止.... Orz 好殘忍....
不過如果把這種狀況考慮進去，就無法求解了。
因為這個時候就需要有一個「希望生男之心裡焦慮程度之平均值」 XD
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