[解題] 高二數學，球切面

[LeonYo ()]

已知空間中一直線L: x=3+t, y=3-t, z=0
        及一球面S: x^2 + y^2 + z^2 -2x +2y -4 =0

求過L且切S的兩平面。











這是今天當解題老師卡住的一題，回來後想了想，雖然有想到
但覺得我的方法頗迂迴，想問問有沒有更好的想法，我的作法是：

i)
球心O(1,-1,0), 球半徑√6，
找到L上一點P(4,2,0)使得OP⊥L，向量OP=(3,3,0)

ii)
OP(3,3,0)╳L方向向量(1,-1,0) = (0,0,-6), 設向量n=(0,0,1),

iii)
設切點為T，則 OP^2 = r^2 + PT^2，故PT =2√3
在OP上設一點Q，使得OQ⊥QT, 則ΔPTO～ΔPQT

PQ:PT=PT:PO, PQ=2√2=(2/3)PO, ∴向量PQ=(2/3)向量PO=(-2,-2,0)
QT=2，∴QT=2向量n=±(0,0,2)

iv)
T = P + PQ + QT = (4,2,0) + (-2,-2,0) + (0,0,2) = (2,0,2)
                                      - (0,0,2) = (2,0,-2)

v)法向量為PT, 過點T即個作出兩切平面


真是太麻煩了，而我甚至都懶得驗算了，
有更好的想法請惠予賜教，感謝

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◆ From: 59.105.56.207
推 sendohandy:用兩面式E1+kE2，再用點到平面距離=半徑解k
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作者: dangerqoo (暴走天使) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 高二數學，球切面
時間: Fri Jun 16 22:56:51 2006

※ 引述《LeonYo ()》之銘言：
: 已知空間中一直線L: x=3+t, y=3-t, z=0
:         及一球面S: x^2 + y^2 + z^2 -2x +2y -4 =0
: 求過L且切S的兩平面。
: 這是今天當解題老師卡住的一題，回來後想了想，雖然有想到
: 但覺得我的方法頗迂迴，想問問有沒有更好的想法，我的作法是：
: i)
: 球心O(1,-1,0), 球半徑√6，
: 找到L上一點P(4,2,0)使得OP⊥L，向量OP=(3,3,0)
: ii)
: OP(3,3,0)╳L方向向量(1,-1,0) = (0,0,-6), 設向量n=(0,0,1),
: iii)
: 設切點為T，則 OP^2 = r^2 + PT^2，故PT =2√3
: 在OP上設一點Q，使得OQ⊥QT, 則ΔPTO～ΔPQT
: PQ:PT=PT:PO, PQ=2√2=(2/3)PO, ∴向量PQ=(2/3)向量PO=(-2,-2,0)
: QT=2，∴QT=2向量n=±(0,0,2)
: iv)
: T = P + PQ + QT = (4,2,0) + (-2,-2,0) + (0,0,2) = (2,0,2)
:                                       - (0,0,2) = (2,0,-2)
: v)法向量為PT, 過點T即個作出兩切平面
: 真是太麻煩了，而我甚至都懶得驗算了，
: 有更好的想法請惠予賜教，感謝
  突然想到的...不知道對不對...
  直線L可從參數式改成兩面式
  這是其中一種表示方法
   x + y = 6
   z = 0
   而過這兩平面交線的平面方程式可表示成
   ( x + y - 6 ) + kz = 0
   因為和球面相切 => 球心 ( 1 , -1 , 0 )到平面的距離等於求半徑根號六
   可求出 k = 正負 2
   則切平面方程式為 x + y + 2z - 6 = 0
                    x + y - 2z - 6 = 0
   沒有正確答案...所以不知道這樣算對不對

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◆ From: 140.113.128.139
推 seedpig:對
推 LeonYo:用我的蠢方法也是這兩解，感謝。
→ doa2:幾乎過L的切平面都會用兩面式來假設