→ Eshow:只需要式子就可... 03/15 23:48
推 biglion:可以把這個想成是定義阿 03/19 01:00
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作者: aack (喔) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 圓、橢圓的積分
時間: Wed Mar 15 23:52:13 2006
※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之銘言：
: 莫名其妙看到 阿積不出來很難過 問問看
: 圓的周長= 2pi R ---->怎麼積來的？
考慮極座標上一個半徑為a的圓r = a
2π 2π |2π
週長 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa
0 0 |0
: 同理...順便問一下橢圓...感謝
橢圓的週長是無法積出來的 只能求近似而已
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◆ From: 61.228.50.171
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 圓、橢圓的積分
時間: Fri Mar 17 03:10:31 2006
※ 引述《aack (喔)》之銘言：
: ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之銘言：
: : 莫名其妙看到 阿積不出來很難過 問問看
: : 圓的周長= 2pi R ---->怎麼積來的？
: 考慮極座標上一個半徑為a的圓r = a
: 2π 2π |2π
: 週長 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa
: 0 0 |0
要用此積分得圓弧長值是可以
但是....今天如果要證明圓的週長＝2πr
用這極座標的積分去證明....基本上是倒果為因
因為極座標表達『圓弧線元素』是rdθ
這就是由圓的弧長公式所得到的.....
圓的弧長公式＝rθ （measure in radian）
極小的圓弧長就是自變量作為小的變化 （dθ）
所以用積分在極座標下來論證圓弧長公式是倒果為因的
要說明的應該是...圓的弧長公式為什麼是rθ？
（當θ＝2π時 自然就得到了圓的週長＝2πr）
首先
人類在古時候發現圓的周長和半徑呈現正比的線性關係（無數的經驗累積）
P＝kr （P是圓周長 r是半徑 k就是那個線性的比例常數）
並且這個k經過測量後似乎是固定的（不會因為圓的大小而有所變動）
k可以得到大約是6.283...左右的數字
問題是 怎麼知道 k 是固定的呢？
搞不好有一天因為不同的圓而產生不同的值
這是不可能的...因為相似多邊型 對應邊長成比例（這可由幾何原本中得到證明）
而『所有的圓』都是相似的 根據相似性原理
圓的『周長比』會等於『半徑比』 這就得到了 k 必為定值
此值我們現在稱為2π
圓周長既然解決
部分弧長的公式也可以根據相似的比例原則得到
弧長 s＝rθ （θ is measure in radian）
積分中的『圓弧線元素』是rdθ就是根據弧長s＝rθ而得到的
用以證明圓周長公式絕對是倒果為因的
在這裡提一下此事
因為我記得好像很多人用這種方法證明圓周長公式 並且以為這樣子做是對的
另外 利用積分來證明圓面積公式＝πr^2 也同樣是倒果為因....
講一點題外話
平常人們測量角度的表達使用度度量（measure in degree）
而不喜歡用徑度量（measure in radian）
因為度度量表達起來直觀，簡潔，等量分割圓為360度角，
容易使用圖像的聯想以粗估角度大小
而徑度量卻不然 他大小的表達是無理數的分割（2π的分解） 很不直觀
自古以來人類就懼怕無理數（即使到現在也是）
那麼為什麼數學喜歡徑度量而不喜歡度度量？
弧長公式與扇型面積公式的表達較度度量為簡潔（s＝rθ A＝1/2θr^2）
這固然是原因 但還不夠充分...（度度量也做得到）
為什麼徑度量為成為...數學中表達角度的主流？
主要原因還是因為以下的這個極限
sinθ
lim ------- ＝1 這只有在θ在徑度量才是真確的......
θ->0 θ
而這個極限，卻是在高等數學中相當重要的....（它不是1....那就難過了）
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◆ From: 203.73.203.174
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.203.174 (03/17 03:27)
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 圓、橢圓的積分
時間: Sun Mar 19 00:57:06 2006
※ 引述《aack (喔)》之銘言：
: ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之銘言：
: : 莫名其妙看到 阿積不出來很難過 問問看
: : 圓的周長= 2pi R ---->怎麼積來的？
: 考慮極座標上一個半徑為a的圓r = a
: 2π 2π |2π
: 週長 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa
: 0 0 |0
: : 同理...順便問一下橢圓...感謝
: 橢圓的週長是無法積出來的 只能求近似而已
針對橢圓周長的積分 我講一下好了...
橢圓周長的積分已經被『證明』沒有closed form的形式
或是稱為：沒有初等函數的表示
但是可以使用冪級數逐項積分定理 不改變收斂範圍（C.B.可能變動）
可以求到近似值（任意接近真值）
類似的 ∫e^-t/tdt 這個函數稱為指數積分
也沒有closed form....還有很多很多....
有closed form的不定積分 佔的少數中的少數....
在數學上 『近似值』是一個相對的東西....
基本上 單位直徑圓的周長也是個近似值
你要說它沒有closed form的積分形式也是沒有錯
阿積米德的希臘積分法（窮舉法），圓的周長的確沒有closed form
只能算出圓周長上界與下界（利用多邊型周長的代迭法可以任意接近真值）
但是這個近似值太重要
我們叫他π
單位直徑圓的周長我們硬性給他一個抽象，概念的代號
如果今天你一時興起....定義一個『單位橢圓』的正準式
並且規定它的周長值為一概念的、封閉形式的符號
那麼橢圓周長的積分..當然也有closed form了
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