推 luckseven:第二題: 2^(n-1) ? 04/10 11:05
推 luckseven:第三題:absinθ/2 ,θ=90,cosθ=0,x=√13 04/10 11:19
推 luckseven:第四題:正三角形面積為最大? 04/10 11:32
推 Triheart:樓上是沒錯...不過答案要這樣寫嗎 :p 04/10 11:33
推 luckseven:當然不行啊 哈哈~ 04/10 11:49
推 wind2:請問這是哪裡的教甄題目? 04/12 22:24
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作者: Triheart () 看板: tutor
標題: Re: [問題] 幾題教甄題請幫忙
時間: Mon Apr 10 11:31:13 2006
※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
: 1、a+bi是實係數方程式x^3+px+1=0的一虛根，則x^3+px-1=0的實根為____ ans:2a
有a+bi根 必有a-bi 另設實根為t
三根和(a+bi)+(a-bi)+t=0 因此實根t為-2a
x^3+px-1=0中令x=-X 可得X^3+pX+1=0 實根X為-2a 因此x實根為2a
: 2、當考慮順序，3這個數可以用4種方式表為一個或多個自然數之和，
: 即3,2+1,1+2,1+1+1，請問自然數10可以有____種這樣的表示。 ans：512
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
中間有九個間隔 每個間隔都可以選擇要不要放隔板 共有2^9 = 512種放法
: 3、三角形ABC中，AB長度為2，BC長度為3，AC長度為x，當x=？時三角形有最大面積。
: ans：√13
面積= 1/2 x 2 x 3 x sinB 最大值發生在sinB=1也就是直角時 AC=√13
: 4、三角形ABC，角A=60度，且三邊和是9，求三角形ABC面積的最大值。 9√3
: ------
: 4
=_=
一時想不出來 很糟 吃飯先...
--
.
. 定 格 .
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◆ From: 61.216.251.96
推 FATTY2108:(b+c)/2 小於等於 (bc)^0.5 等號成立時 有極值 04/10 11:51
→ FATTY2108:所以是正三角形 04/10 11:53
推 doa2:是大於等於吧 而且光用那個式子應該證不出什麼.. 04/10 12:37
推 FATTY2108:樓上的言之有理 我再去想想 04/10 14:29
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作者: doa2 (邁向高手之路) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 幾題教甄題請幫忙
時間: Mon Apr 10 12:41:47 2006
※ 引述《Triheart ()》之銘言：
: ※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
: : 1、a+bi是實係數方程式x^3+px+1=0的一虛根，則x^3+px-1=0的實根為____ ans:2a
: 有a+bi根 必有a-bi 另設實根為t
: 三根和(a+bi)+(a-bi)+t=0 因此實根t為-2a
: x^3+px-1=0中令x=-X 可得X^3+pX+1=0 實根X為-2a 因此x實根為2a
: : 2、當考慮順序，3這個數可以用4種方式表為一個或多個自然數之和，
: : 即3,2+1,1+2,1+1+1，請問自然數10可以有____種這樣的表示。 ans：512
: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
: 中間有九個間隔 每個間隔都可以選擇要不要放隔板 共有2^9 = 512種放法
: : 3、三角形ABC中，AB長度為2，BC長度為3，AC長度為x，當x=？時三角形有最大面積。
: : ans：√13
: 面積= 1/2 x 2 x 3 x sinB 最大值發生在sinB=1也就是直角時 AC=√13
: : 4、三角形ABC，角A=60度，且三邊和是9，求三角形ABC面積的最大值。 9√3
: : ------
: : 4
: =_=
: 一時想不出來 很糟 吃飯先...
有個爛方法
假設角A的兩個夾邊為a,b 對邊9-a-b
根據餘弦定理可得a+b=(ab+27)/6 (過程我省略囉 反正就整理一下就好)
__
又(a+b)/2>=／ab
__
所以(ab+27)/12 >=／ab
兩邊平方整理得a^2b^2-90ab+729>=0
__
(ab-9)(ab-81)>=0 ab<=9或ab>=81(不合 因為／ab<=(a+b)/2<9/2)
_
故ab<=9 三角形面積等於absin60度/2=9／3/4
等號成立於a=b=3
--
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◆ From: 219.84.128.123
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 幾題教甄題請幫忙
時間: Mon Apr 10 13:57:14 2006
※ 引述《Triheart ()》之銘言：
: ※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
: : 1、a+bi是實係數方程式x^3+px+1=0的一虛根，則x^3+px-1=0的實根為____ ans:2a
: 有a+bi根 必有a-bi 另設實根為t
: 三根和(a+bi)+(a-bi)+t=0 因此實根t為-2a
: x^3+px-1=0中令x=-X 可得X^3+pX+1=0 實根X為-2a 因此x實根為2a
: : 2、當考慮順序，3這個數可以用4種方式表為一個或多個自然數之和，
: : 即3,2+1,1+2,1+1+1，請問自然數10可以有____種這樣的表示。 ans：512
: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
: 中間有九個間隔 每個間隔都可以選擇要不要放隔板 共有2^9 = 512種放法
: : 3、三角形ABC中，AB長度為2，BC長度為3，AC長度為x，當x=？時三角形有最大面積。
: : ans：√13
: 面積= 1/2 x 2 x 3 x sinB 最大值發生在sinB=1也就是直角時 AC=√13
: : 4、三角形ABC，角A=60度，且三邊和是9，求三角形ABC面積的最大值。 9√3
: : ------
: : 4
: =_=
: 一時想不出來 很糟 吃飯先...
4.題目出的不好，因為∠A＝60度是多給的。
看到定周長，又看到面積，就會想到海龍公式，
看到極值，就會想到不等式
根據海龍公式：三角形面積的平方＝s(s-a)(s-b)(s-c) s是三角形半周長
由海龍公式與算幾不等式可知
3s－(a＋b＋c) 3 s 3
(s-a)(s-b)(s-c)≦（-----------------） ＝（---）
3 3
等式在a＝b＝c成立
立刻可以引申得知：定周長2s三角形，邊長為2s/3的正三角形面積為最大
√3
△≦ ------ s^2 今週長為9 →s＝9/2 最大面積 9√3/4
9
PS：過程中證明了：定周長的三角形中，以正三角形的面積為最大。
這個定理或許是中學數學教師應該知道的常識。
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◆ From: 203.73.234.67
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.234.67 (04/10 14:08)
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作者: jerrylau (一整個就是累) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 幾題教甄題請幫忙
時間: Mon Apr 10 14:23:08 2006
: 4.題目出的不好，因為∠A＝60度是多給的。
: 看到定周長，又看到面積，就會想到海龍公式，
: 看到極值，就會想到不等式
: 根據海龍公式：三角形面積的平方＝s(s-a)(s-b)(s-c) s是三角形半周長
: 由海龍公式與算幾不等式可知
: 3s－(a＋b＋c) 3 s 3
: (s-a)(s-b)(s-c)≦（-----------------） ＝（---）
: 3 3
: 等式在a＝b＝c成立
: 立刻可以引申得知：定周長2s三角形，邊長為2s/3的正三角形面積為最大
: √3
: △≦ ------ s^2 今週長為9 →s＝9/2 最大面積 9√3/4
: 9
: PS：過程中證明了：定周長的三角形中，以正三角形的面積為最大。
: 這個定理或許是中學數學教師應該知道的常識。
其實這一題∠A＝60度並不是多餘的
利用海龍加上算幾已算非常有難度 對於老師當然必須要有這樣的能力
但是對於學生而言 我想應該是很高難度吧
所以出題老師會給個∠A＝60度 為什麼呢? 我的想法如下:
設∠A的相鄰兩邊長為x,y
則三角形面積為1/2xysin60度 要求面積最大,即求xy最大
由算幾不等式:(x+y)/2 > = (xy)^1/2
等號成立時有極值,此時x=y
∠A＝60度的功用這時候出現了--> ∠A＝60度又x=y,故此時三角形為正三角形
邊長為9/3=3,面積為(四分之根號3)x邊長平方=9√3/4
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◆ From: 218.166.146.92
→ FATTY2108: 和我想的一樣 但是這樣想對嗎?? 04/10 14:30
推 Triheart:算幾不等式直接等號成立有極值不太對勁 畢竟上界還是變數 04/10 17:21
推 FATTY2108:...........有道理 04/10 17:34
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 幾題教甄題請幫忙
時間: Tue Apr 11 00:51:24 2006
※ 引述《jerrylau (一整個就是累)》之銘言：
: : 4.題目出的不好，因為∠A＝60度是多給的。
: : 看到定周長，又看到面積，就會想到海龍公式，
: : 看到極值，就會想到不等式
: : 根據海龍公式：三角形面積的平方＝s(s-a)(s-b)(s-c) s是三角形半周長
: : 由海龍公式與算幾不等式可知
: : 3s－(a＋b＋c) 3 s 3
: : (s-a)(s-b)(s-c)≦（-----------------） ＝（---）
: : 3 3
: : 等式在a＝b＝c成立
: : 立刻可以引申得知：定周長2s三角形，邊長為2s/3的正三角形面積為最大
: : √3
: : △≦ ------ s^2 今週長為9 →s＝9/2 最大面積 9√3/4
: : 9
: : PS：過程中證明了：定周長的三角形中，以正三角形的面積為最大。
: : 這個定理或許是中學數學教師應該知道的常識。
: 其實這一題∠A＝60度並不是多餘的
: 利用海龍加上算幾已算非常有難度 對於老師當然必須要有這樣的能力
: 但是對於學生而言 我想應該是很高難度吧
: 所以出題老師會給個∠A＝60度 為什麼呢? 我的想法如下:
: 設∠A的相鄰兩邊長為x,y
: 則三角形面積為1/2xysin60度 要求面積最大,即求xy最大
: 由算幾不等式:(x+y)/2 > = (xy)^1/2
: 等號成立時有極值,此時x=y
: ∠A＝60度的功用這時候出現了--> ∠A＝60度又x=y,故此時三角形為正三角形
: 邊長為9/3=3,面積為(四分之根號3)x邊長平方=9√3/4
當然，題目多給這個條件，是為了讓考題容易作答....
除去這個理由，多給60度實在沒有任何好處。
如果沒給60度，並不會影響定理的結果....但是您的方法卻會失效...
最重要的是...
在『技巧』上你提供的方法簡單多了，但觀念上卻較深（扯到角度，扯到三角函數）
當然囉～～為了考試擠出答案來講，是無可厚非的....
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◆ From: 203.73.236.205
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作者: moun9 (hi.) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 幾題教甄題請幫忙
時間: Tue Apr 18 10:44:38 2006
※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
: 1、a+bi是實係數方程式x^3+px+1=0的一虛根，則x^3+px-1=0的實根為____ ans:2a
: 2、當考慮順序，3這個數可以用4種方式表為一個或多個自然數之和，
: 即3,2+1,1+2,1+1+1，請問自然數10可以有____種這樣的表示。 ans：512
: 3、三角形ABC中，AB長度為2，BC長度為3，AC長度為x，當x=？時三角形有最大面積。
: ans：√13
: 4、三角形ABC，角A=60度，且三邊和是9，求三角形ABC面積的最大值。 9√3
: ------
: 4
海龍 = 3Sqrt[(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]/4
(a+b+c)^3 ≧ 27abc => 27≧abc ≧ (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
所以 面積≦(3/4)Sqrt[27] = 9Sqrt[3]/4
其中 abc ≧ (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
只要用算幾就可以證明 : a≧ Sqrt[ (a+b-c)(a+c-b)]
以此類推, 最後再相乘!
: 謝謝
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◆ From: 140.117.34.103