推 nk:可是我覺得順序不對 畢竟L'H rule學習上遠遠晚於此題目 04/15 17:17
→ nk:這樣的話感覺上僅僅是解題 雖然也是可以證明出來就是了 04/15 17:17
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作者: mokoko22222 (~★ ﹣→￣ ★~) 看板: tutor
標題: Re: [討論] limsinx/x＝1 when x→0
時間: Sat Apr 15 17:17:52 2006
※ 引述《yonex (這個世界真的有愛情嗎？)》之銘言：
: 基本三角函數極限
: sinx
: lim ------ ＝1
: x→0 x
: 課本上的證明是利用『平面幾何』直觀的方式，再配合夾擠定理...
: 這是一個仰賴感官的證明（視覺），
: 之前有板友提到講到所謂的『嚴謹性』，
: 仰賴視覺或直觀，似乎有點違悖嚴謹性的訴求...
: 那麼為何不可用 L'Hospital Rule 去證明呢？
: 總之呢....想聽聽看各位的意見...
L'Hospital Rule的證明是有邏輯謬誤的...
sinx d(sinx)/dx
from L'Hospital Rule, lim ------ = lim -----------
x->0 x x->0 dx/dx
d(sinx)/dx 是什麼呢? 當然我們都知道是cosx
但是在證明sinx的導函數是cosx時 我們已經用到了一件事 那就是lim sinx/x = 1
x->0
所以使用L'Hospital Rule證明這個極限 = 1 已經無形中用了這個結論來推斷要證明的
東西
假如今天 有個方法可以不用利用lim sinx/x 來得到sinx的導函數 那麼當然就可以用
L'Hospital Rule驗證了 x->0
--
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◆ From: 61.228.48.192
→ nk:推 聽你說我才想到dsinx/dx的來源是limx->0 sinx/x 04/15 17:19
推 harry901:bravo 04/15 18:09
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: [討論] limsinx/x＝1 when x→0
時間: Sun Apr 16 00:07:04 2006
※ 引述《mokoko22222 (~★ ﹣→￣ ★~)》之銘言：
: ※ 引述《yonex (這個世界真的有愛情嗎？)》之銘言：
: : 基本三角函數極限
: : sinx
: : lim ------ ＝1
: : x→0 x
: : 課本上的證明是利用『平面幾何』直觀的方式，再配合夾擠定理...
: : 這是一個仰賴感官的證明（視覺），
: : 之前有板友提到講到所謂的『嚴謹性』，
: : 仰賴視覺或直觀，似乎有點違悖嚴謹性的訴求...
: : 那麼為何不可用 L'Hospital Rule 去證明呢？
: : 總之呢....想聽聽看各位的意見...
: L'Hospital Rule的證明是有邏輯謬誤的...
: sinx d(sinx)/dx
: from L'Hospital Rule, lim ------ = lim -----------
: x->0 x x->0 dx/dx
: d(sinx)/dx 是什麼呢? 當然我們都知道是cosx
: 但是在證明sinx的導函數是cosx時 我們已經用到了一件事 那就是lim sinx/x = 1
: x->0
: 所以使用L'Hospital Rule證明這個極限 = 1 已經無形中用了這個結論來推斷要證明的
: 東西
: 假如今天 有個方法可以不用利用lim sinx/x 來得到sinx的導函數 那麼當然就可以用
: L'Hospital Rule驗證了 x->0
mokoko22222兄的意思是....
(sinx)'=cosx，這個微分的推導....
在我們學習微積分的路線上(目前教科書的路線)
必須使用到這個三角函數基本極限，所以使用羅必達會導致『循環論證』
那麼是不是有機會得到sinx的導函數，而不用利用lim sinx/x＝1這個極限呢？
如果找得到，問題就解決了....我們的確可使用L'Hospital Rule驗證該極限。
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當我們使用『感官視覺』去定義三角函數時（正弦函數定義為：對邊除以斜邊）
似乎就沒辦法避免使用『視覺感官』去解決這個極限
那麼我只想說：三角函數真是經不起考驗。它仰賴視覺與圖形了....
沒有眼睛的外星人，難道就無法發現三角函數嗎？
難道就沒辦法發現 lim sinx/x＝1這個事實嗎？
難道他們就得不到(sinx)'=cosx這個定理嗎？
意識到空間是『彎曲』的明眼人將瞭解三角形內角和並非180度，
他又何以能接受在『平面的紙上』做圖形所得到的論證呢？
仰賴幾何直觀與經驗似乎不往往能得到可靠的事實....此乃因為『形缺數難入微』
先前我討論了 a^x＝log(a,x) 的交點個數，
直觀、經驗、圖形視覺上所顯示的...都很難讓我們相信會有三個交點（根）
圖形是不能代替證明的...因為定理的真假，與我們的幾何解釋好壞無關。
這麼看來，正弦函數定義為：『對邊除以斜邊』，
以現代數學的critical viewpoint而言似乎有所不妥....
如果另一種方式去定義三角函數而不仰賴幾何（尤其是歐式平面幾何）
或許我們真的可以得到sinx的導函數，而甭利用lim sinx/x＝1這個極限。
如此 L'Hospital Rule 驗證該極限，就不會產生邏輯上的矛盾。
以上就是我的想法.....
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◆ From: 203.73.237.230
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.237.230 (04/16 00:12)
推 RoarLiao:我也很想知道這個討論串的結果... 04/16 00:11
→ yonex:或者你可以寫寫你的想法... 04/16 01:53
推 feynmankao:看他的Taylor's series 也是sin的定義! 04/16 17:09
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: [討論] limsinx/x＝1 when x→0
時間: Wed Apr 19 06:06:02 2006
自然指數函數e^x的泰勒級數
x^2 x^3 ∞ x^k
e^x＝1＋x＋ ----- ＋ ----- ＋.....＝ Σ ------- 收斂半徑ρ＝∞
2! 3! 0 k!
(ix)^2 (ix)^3
e^ix＝1＋ix＋ -------- ＋ -------- ＋.....
2! 3!
x^2 x^4 x^3 x^5
＝（ 1 － ----- ＋ ----- ＋....）＋i（x－ ----- ＋ ----- －....）
2! 4! 3! 5!
∞ (-1)^n ∞ (-1)^n
＝ Σ -----------x^(2n+1) ＋ i Σ --------x^2n
n=0 (2n+1)! n=0 (2n!)
_____________________________
definition:
∞ (-1)^n
sinx = Σ -----------x^(2n+1)
n=0 (2n+1)!
∞ (-1)^n
cosx = Σ --------x^2n
n=0 (2n!)
得到 e^(ix)＝cosx＋isinx
____________________________
d
Thm1 : ---(sinx)=cosx
dx
pf:
∞ d (-1)^n ∞ (-1)^n
(sinx)' = Σ --- ---------- x^(2n+1) = Σ --------x^2n =cosx
n=0 dx (2n+1)! n=0 (2n!)
同理可證 (cosx)'=－sinx
--------------------------
Thm2 ：
sinx
lim -------- ＝ 1
x->0 x
pf：by L'Hospital Rule
sinx (sinx)' cosx
lim -------- ＝ lim --------- ＝ lim --------
x->0 x x->0 (x)' x->0 1
∞ (-1)^n
＝lim Σ --------x^2n＝1
x->0 n=0 (2n!)
走這條路線學微積分的話.....
sinx
當然可以使用羅畢達法則證明 lim -------- ＝ 1
x->0 x
--
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◆ From: 203.73.225.91
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.225.91 (04/19 06:25)
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: [討論] limsinx/x＝1 when x→0
時間: Wed Apr 19 06:18:34 2006
路人甲：
「好吧，你認為形缺數難入微，
且不符合現代數學證明的嚴謹性...
所以你完全摒棄圖形與幾何的直觀性。
以完全解析的角度定義正、餘弦函數....
可是就幾何觀點引申出的的三角函數和角公式、倍角公式，畢竟有其實用性....
且代數式恆真是不可否認的事實！
以你的定義....不仰賴圖形與視覺，該如何解釋這樣的代數恆等式呢？」
試試看囉～～有何不可呢？
_________________________________
definition:
∞ (-1)^n
sinx = Σ -----------x^(2n+1)
n=0 (2n+1)!
∞ (-1)^n
cosx = Σ --------x^2n
n=0 (2n!)
_________________________________
by definition....
(sinx)'＝cosx
(cosx)'＝－sinx
Thm 1（和角公式）
sin(x+y) =sinxcosy + cosxsiny
cos(x+y) =cosxcosy - sinxsiny
pf:
固定y值
令f(x)= sin(x+y) - (sinxcosy + cosxsiny)
g(x)= cos(x+y) - (cosxcosy - sinxsiny)
by Thm1 we have
f'(x)= cos(x+y) - (cosxcosy - sinxsiny)= g(x)
g'(x)= -sin(x+y) + sinxcosy + cosxsiny = -f(x)
now we let (f^2+g^2)'= 2ff'+2gg'= 2fg-2gf =0
^^^^^^^^這函數的微分值恆為0 故此函數為常數函數
(在微積分這個定理有名子 叫零導數定理 由MVT証得)
此函數為常數，故代任何一點所得的值都一樣，在這裡代入x=0
f^2(0)+g^(0) = (siny-siny)^2 + (cosy-cosy)^2 =0
f(x)=g(x)=0
f(x)= sin(x+y) - (sinxcosy + cosxsiny)=0
g(x)= cos(x+y) - (cosxcosy - sinxsiny)=0
sin(x+y) =sinxcosy + cosxsiny
cos(x+y) =cosxcosy - sinxsiny
Q.E.D.
有了以上的結論，以下的證明就有點trivial了.....順便附上好了
-------------
Thm2： sin2x=2sinxcosx
pf sin2x=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx
Thm3： (sinx)^2+(cosx)^2=1
pf by definition cos0=1
1=cos0=cos(x-x)=cosxcos(-x)-sinxsin(-x)
=(cosx)^2 + (sinx)^2
PS：完全不依賴圖形，僅使用分析與代數的方法
也可證出 (sinx)^2+(cosx)^2=1
套上圖形....在歐式幾何裡，這就叫畢氏定理
Thm4： cos2x =2(cosx)^2 -1
pf cos2x = cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx= (cosx)^2 - (sinx)^2
=(cosx)^2-(1-cos^2x)= 2(cosx)^2 -1
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◆ From: 203.73.225.91
※ 編輯: yonex 來自: 203.73.225.91 (04/19 06:24)
→ yonex:這篇文章還沒結束，會以對話錄的方式劃下句點.... 04/19 06:35
→ yonex:數與形的對話....提供給大一初等微積分的參考教材... 04/19 06:36
推 luckseven:你是不是要出書了........囧rz.... 04/19 10:21