[解題]一題教甄證明題

[wanttobe (唉 失望)]

  三角形ABC的三邊長分別為a,b,c，面積等於1/4，而其外接圓半徑為1，
  則試證√a+√b+√c< 1/a + 1/b +1/c



  設a屬於實數，且對於任何實數t，方程式(x-6)(x-2)+t(x-a)=0永遠有實根，
  求a的範圍？


  謝謝大家

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作者: doa2 (邁向高手之路) 看板: tutor
標題: Re: [解題]一題教甄證明題
時間: Mon Apr 17 09:15:36 2006

※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
:   三角形ABC的三邊長分別為a,b,c，面積等於1/4，而其外接圓半徑為1，
:   則試證√a+√b+√c< 1/a + 1/b +1/c
:   設a屬於實數，且對於任何實數t，方程式(x-6)(x-2)+t(x-a)=0永遠有實根，
:   求a的範圍？
:   謝謝大家
x^2-8x+12+tx-at=0

x^2+(t-8)x+(12-at)=0

方程式永遠有實根=>判別式恆>=0

(t-8)^2-4(12-at)>=0

t^2-16t+64-48+4at>=0

t^2+(4a-16)t+16>=0

方程式恆>=0  即判別式<=0

(4a-16)^2-64<=0

a^2-8t+12<=0

(a-6)(a-2)<=0

得到2<=a<=6

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作者: sendohandy (11..歡樂世紀板!!) 看板: tutor
標題: Re: [解題]一題教甄證明題
時間: Mon Apr 17 09:43:07 2006

※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
:   三角形ABC的三邊長分別為a,b,c，面積等於1/4，而其外接圓半徑為1，
:   則試證√a+√b+√c< 1/a + 1/b +1/c

A=1/4=abc/4R => abc=1
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1/a+1/b≧2√1/ab = 2√c
1/b+1/c..........= 2√a
1/c+1/a..........= 2√b

相加 => 1/a+1/b+1/c≧√a+√b+√c 但等號不成立

:   設a屬於實數，且對於任何實數t，方程式(x-6)(x-2)+t(x-a)=0永遠有實根，
:   求a的範圍？
:   謝謝大家

可以想成：拋物線 y=(x-6)(x-2) 與直線 y=t(x-a) 永遠有交點
所以直線通過 (a,0) ，則 2≦a≦6

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