推 JessieMay:第二題(1)用畫圖看交點：y=x^3和y=-x+10^6兩條線的交點 04/18 02:11
→ JessieMay:很明顯只有一個交點在第一象限。（2）採一次因式檢驗法 04/18 02:12
→ JessieMay:知該根必小於100，但必大於90(此數隨便代的)，但90~100 04/18 02:20
→ JessieMay:間並沒有10^6的因數，因此該根不為有理數 04/18 02:20
推 jeaopal:原來如此 感恩^^ 04/18 13:44
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 教甄考古題~~
時間: Tue Apr 18 13:46:43 2006
※ 引述《jeaopal (飛的理由)》之銘言：
: 1 1 1
: 1.----- + ----- + .........--------
: 根號2 根號3 根號1000
: 求此數的整數部分?
嘖嘖，
出到1000有點刁難人，若是100或是10000較佳
（√1000在考場不好開根號，出題老師其心可議....）
先做
1 1 1 1
--- + --- + --- + ........+ ----- （＊）
√1 √2 √3 √1000
a.
1001 1
考慮積分∫ ----- dx
1 √x
其值大於61.2
因為1/√x是遞減函數
所以1/√n ≧ 1/√x , for x 屬於 [ n,n+1] , n=1,2,...,1000
故＊級數和大於61.2
b.
1000 1
考慮積分∫ ----- dx≒ 61.2
1 √x
因為1/√n < 1/√x , for x 屬於 [ n-1,n ) , n=2,3,...,1000
所以＊級數扣掉 1/√1 的和小於62
則＊級數和小於 61＋1＝62
由a、b得知＊級數的整數部分為61
最後再扣掉1（＊級數和原級數之差），我算出的答案是60
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◆ From: 211.74.121.116
※ 編輯: yonex 來自: 211.74.121.116 (04/18 13:47)
推 sendohandy:60是對的,如您所說,我手邊的題目是到10k,1k真的不好算 04/18 14:10
推 jeaopal:不好意思 請問為何第二個積分不從0積到1000? @@ 04/19 11:55
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作者: yonex (這個世界真的有愛情嗎？) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 教甄考古題~~
時間: Tue Apr 18 14:13:35 2006
: 2.(1)f(x)=x^3+x-10^6=0 ,求證方程式恰有一實根 (不可用微積分的方法)
存在性
實係數方程式的複數根必共軛成對出現
所以三次方程式至少一實根
唯一性
假設α、β為方程式之兩相異實根，α≠β
α^3＋α－10^6＝0 （a）
β^3＋β－10^6＝0 （b）
由a減b得 α^3－β^3＝β－α
因為α≠β
所以 α^2＋αβ＋β^2＝－1
3
但是α^2＋αβ＋β^2＝（α＋β/2）^2＋ ---β^2＞0
4
矛盾
所以α＝β 原方程式恰有一實根
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註：本題用微積分可立刻證完，只要證得原函數是嚴格遞增即可得唯一性
f'(x)＝3x^2＋1＞0 恰有一實根。
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: (2)承上題, 試證此根為無理數
牛頓一次因式檢驗法，同JessieMay所提的...我不再贅述了
但他所提的做圖法『證明』唯一性，可能會被扣分....
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◆ From: 211.74.121.116
推 doa2:9736篇有解過一樣的題目... 04/18 14:40
推 JessieMay:受教了~~~感恩....^^ 04/18 15:25