[解題] 2題教甄題

[wanttobe (唉 失望)]

1.設二函數y=(2^x+2^-x)/2，y=a/(2^x+2^-x)相交於ＡＢ兩點，
  且ＡＢ線段長為1，求a=?

2.設y=|2x-1|，及y=m(x-t)+t，若不論m為何值此二函數圖形皆有交點，
  問t的範圍何為？


  謝謝大家

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◆ From: 59.113.67.18

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作者: doa2 (邁向高手之路) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 2題教甄題
時間: Mon May  8 23:07:48 2006

※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
: 1.設二函數y=(2^x+2^-x)/2，y=a/(2^x+2^-x)相交於ＡＢ兩點，
:   且ＡＢ線段長為1，求a=?
今天剛教到XD

可以硬解(就是兩式相等然後解)  不過解答還蠻神奇的

因為這兩個函數都是偶函數

而且兩交點距離1

所以交點就是x=1/2跟x=-1/2的時候

帶入可得a=9/4
: 2.設y=|2x-1|，及y=m(x-t)+t，若不論m為何值此二函數圖形皆有交點，
:   問t的範圍何為？
:   謝謝大家

第二條線恆過(t,t)

畫y=|2x-1|  以及y=x的圖形

相交於(1/3,1/3)及(1,1)

從圖形明顯知道只要t在1/3~1中間時  不論m為如何都一定會跟第一個圖形相交..


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◆ From: 219.84.128.123
※ 編輯: doa2            來自: 219.84.128.123       (05/08 23:08)
推 sendohandy:我一開始硬解解到一半就放棄了....0rz
推 wanttobe:請問是在那一本參考書看到啊？謝謝
推 someone:第一題我畫圖之後才發現x=1/2跟-1/2  光看方程式很難理解
推 doa2:所以我說很神奇阿  第一眼不會想到
→ bugmens:指數那題在 活用高中基礎數學 第一章 指數與對數 林東海
→ bugmens:林子翔 1-31頁,使用的方法就是兩圖形對y軸對稱,和doa2相同
推 doa2:樓上還真的去查阿..XD
推 wanttobe:大大感激
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作者: doa2 (邁向高手之路) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 2題教甄題
時間: Mon May  8 23:25:28 2006

※ 引述《doa2 (邁向高手之路)》之銘言：
: 標題: Re: [解題] 2題教甄題
: 時間: Mon May  8 23:07:48 2006
:
: ※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
: : 1.設二函數y=(2^x+2^-x)/2，y=a/(2^x+2^-x)相交於ＡＢ兩點，
: :   且ＡＢ線段長為1，求a=?
: 推 sendohandy:我一開始硬解解到一半就放棄了....0rz                  05/08 23:09
: 推 wanttobe:請問是在那一本參考書看到啊？謝謝                       05/08 23:10
建如重考班的講義

硬解其實也還好

就是(2^x+2^-x)/2 = a/(2^x+2^-x)
                     ___
交叉相乘得2^x+2^-x=／2a
                       __
然後同乘2^x得(2^x)^2-／2a(2^x)+1=0
         __      _____
得2^x=(／2a加減／2a-4 )/2
         __      _____
x=log (／2a加減／2a-4 )/2
     2
               __   ____    __   ____
則x1-x2=log (／2a+／2a-4)/／2a-／2a-4) =1
           2

接下去解就可以了
: 推 someone:第一題我畫圖之後才發現x=1/2跟-1/2  光看方程式很難理解   05/08 23:17

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◆ From: 219.84.128.123

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作者: wanttobe (唉 失望) 看板: tutor
標題: [解題] 2題教甄題
時間: Sat Jun 10 09:37:58 2006



   1、焦點為(-3，2)(1，-2)的雙曲線與y=2x+4相切，則其斜率較大的漸近線方程式？


   2、設P為三角形ABC的BC邊上一點，且PB=AC=a，若角BAP=30度，角PAC=90度
      則PC=？

   感謝感恩

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◆ From: 140.113.197.214
推 kego:1 應該是利用相切所以焦點到直線的最短距離點剛好就是切點
→ kego:接下來再運用雙曲線的定義  焦點到切點距離相減為定值
→ kego:就可以寫出雙曲線方程式  接下來就可以找出漸近線方程式吧
推 theoculus:焦點到直線的最短距離點剛好就是切點？ 　why？
推 kego:這樣不就是垂直嗎??  啊...我這樣好像是錯的  囧  別理我
推 vu3cj0su3:可以利用旋轉的概念嗎?  選轉45度 ..不知道可不可弄..
推 vu3cj0su3:本來想用光學性質  但是總覺得怪怪的
→ vu3cj0su3:不過可以用平移+旋轉
→ vu3cj0su3:先把座標軸平移 使雙曲線中心變(0,0) 焦點變(-2,2)(2,2)
→ vu3cj0su3:再將座標軸順時針旋轉45度
→ vu3cj0su3:算出來的漸近線  再旋轉平移回去即可
→ vu3cj0su3:不過這樣做  蠻繁雜的
推 vu3cj0su3:我算出兩條漸近線 y=3(x-1) 以及 y=1/3(x-1)
推 wanttobe:大概能夠了解 ……但是真的滿難算的
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作者: vu3cj0su3 (    ) 看板: tutor
標題: Re: [解題] 2題教甄題
時間: Sat Jun 10 10:14:31 2006

※ 引述《wanttobe (唉 失望)》之銘言：
:    1、焦點為(-3，2)(1，-2)的雙曲線與y=2x+4相切，則其斜率較大的漸近線方程式？
:    2、設P為三角形ABC的BC邊上一點，且PB=AC=a，若角BAP=30度，角PAC=90度
:       則PC=？
:    感謝感恩

2
令PC=y PA=x

by 正弦定理

  a/sin30 = x/sinB      => sinB = (x/a)*sin30       ...(1)

  (y+a)/sin120 = a/sinB => sinB = [a/(y+a)]*sin120  ...(2)

由(1)(2) 可得等式  (x/a)*sin30= [a/(y+a)]*sin120

整理  可得  x/a = √3*[a/(y+a)]  ...(3)
                                                      _________
∵∠PAC = 90  by畢氏定理  有y^2 = a^2 + x^2  => x = √(y^2-a^2)
                 _________
帶入(3)  =>    √(y^2-a^2)         √3a
               ------------  =  -----------
                    a              (y+a)

                (y^2-a^2)           3a^2
兩邊平方 =>    -----------   =  -----------
                    a^2             (y+a)^2

整理  =>   3a^4 = (y+a)^2(y^-a^2)

      =>   y^4+2a*y^3-2a^3*y-4a^4 = 0

      =>   y^3(y+2a)-2a^3(y+2a) = 0

      =>   (y^3-2a^3)(y+2a) = 0

      故  y=-2a  或 3次根號2*a 以及兩個共軛虛根

      ∵a>0  故-2a不合

      y= 3次根號2*a


剛剛有地方打錯了!

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◆ From: 59.117.49.13
推 wanttobe:強者強者~~~謝謝
※ 編輯: vu3cj0su3       來自: 59.117.49.13         (06/10 13:00)