推 newline:學校教壞小朋友... 將來還不是要學[圓週率]*R^2 04/04 23:40
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作者: gwendless (望月無願) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問一下大家一個有關數學的問題
時間: Wed Apr 5 06:19:29 2006
※ 引述《eating57 (一公升的眼淚)》之銘言：
: 今天我在幫小六的學生上數學時
: 我叫他算圓面積
: 他居然突然冒出我學校老師跟我說
: 圓面積可以用直徑*0.785來算?
: 有這個公式嗎??
: 是怎麼來的阿?
: 我今天很誠實的跟他說我不知道
: 不過我會求證是為什麼之後再告訴他
: 同時也要求他在知道是為什麼之前不可以再用這個公式
: 所以希望大家可以幫我解惑
: 謝謝了
公式之所以會這樣寫，πR^2，是因為單位的問題
圓周率是個常數 沒有單位
一般我們在求面積的時候
一定是一個長度單位乘上另一個長度單位
所以會有平方單位
如果將π/2、0.785作為求面積的依據，單位上就會有所改變
應該要寫成 直徑*0.758單位長度
但是這樣變的沒有意義，因為π並不跟長度單位有關係，只是一個固定的值
想在心算上簡化絕對沒有問題
但是切忌絕對不可以只寫
直徑10公分*0.758 = 7.58平方公分 這樣你的嚴謹度會炸掉的XD
以下是π的構想來源
├──── πR ────────┤
┬ ┌───────────────┐
│ │ │
R │ │
│ │ │
┴ └───────────────┘
將一個圓分成無限多個小扇形交錯排列得出的近似長方形圖案
面積為πR^2
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◆ From: 140.114.222.87
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作者: yonex (諸法皆空) 看板: tutor
標題: Re: [問題] 請問一下大家一個有關數學的問題
時間: Wed Apr 5 10:59:43 2006
※ 引述《gwendless (望月無願)》之銘言：
: 以下是π的構想來源
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: ├──── πR ────────┤
: ┬ ┌───────────────┐
: │ │ │
: R │ │
: │ │ │
: ┴ └───────────────┘
: 將一個圓分成無限多個小扇形交錯排列得出的近似長方形圖案
: 面積為πR^2
你好，文章的前段你講得太好，我無能為力再多做補充...
可是最後閣下在說明『π的構想來源』，卻有斟酌商榷的餘地...
您舉的例子是論證圓面積...也就是證明圓面積公式 A＝πR^2
（這大概是人類使用無窮概念去應用數學的第一個case，其實這程序就是定積分）
圓面積公式中固然顯露出無理數π，
但人類面對與處理無理數π，卻並非由圓面積公式而來....
其實在那個『化圓為方』的圖中，較長的一邊已經顯露出無理數π
（那個長邊是半圓周長，可見π的起源來自於長度，而非面積）
面積是一個幾何問題，長度亦然....
以數學演進與觀點來看，
面積對應於代數運算中較高階的乘法，而長度則是較低階的加法
人類處理長度的數學....或許早先於面積有數千年之久....
因此π的起源，
根據邏輯上的先後問題，不該是源自於圓面積，而應該是圓周長...
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首先...
人類在古時候發現圓的周長和半徑呈現正比的線性關係（無數的經驗累積）
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P＝kr （P是圓周長 r是半徑 k就是那個線性的比例常數）
並且這個k經過測量後似乎是固定的（不會因為圓的大小而有所變動）
k可以得到大約是6.283...左右的數字
問題是....怎麼知道 k 是固定的呢？
會不會有一天因為不同的圓而產生不同的值呢？
總之....那時後的人們不曉得要去證明數學，經驗告訴他們這個值幾乎不會變...
直到古希臘時代，數學被賦予『需要證明』的概念，
泰利斯疾呼：除非你提出證明，否則任何人都可以懷疑權威者說的話....
古希臘的數學哲學家們開始著手去思索這個問題：
『圓周長與直徑之比，是否為一固定值，或可能因不同圓而異呢？』
幾何原本中告訴我們：相似多邊型，對應邊長成比例（這已被證明）
而『所有的圓』都是相似的，根據相似性原理
圓的『周長比』會等於『半徑比』，這就得到了 k 必為定值。
此值我們現在稱為2π。
這就是π起源...
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◆ From: 203.73.201.234
※ 編輯: yonex 來自: 203.67.20.249 (04/05 13:08)
推 gwendless:原來如此 受教了<(_ _)> 04/05 20:44
推 Dinjang:講的很清楚耶 以前我也交過圓周率的報告 04/05 22:03
→ Dinjang:人類在公元前一千到兩千年就發現圓周率可能是定值 04/05 22:04
→ Dinjang:這值在3(中國) 3.12(埃及) 3.16(巴比倫)左右 但算出如Y大 04/05 22:04
→ Dinjang:所說的3.1415 大概在西元兩百年才有這麼準的數字 04/05 22:05
→ Dinjang:18世紀證明出圓周率是無理數 也是超越數 04/05 22:08