[考題] 抽樣方法

[flyyen ( )]

95身心三等

假設母體含有四個抽樣單位(sampling unit)，其對應的觀測值與被抽出的機率如下：

          抽樣單位編號│   1    2    3    4
          ____________│______________________
                      │
          被抽出的機率│  0.1  0.1  0.3  0.5
          ____________│______________________
                      │
          觀測值      │  10   20   50   80

今從此一母體依照前述抽出機率，依序抽出兩個觀測值且第一次抽出後放回，再抽出
第二個，因此是抽出放回的非相等機率抽樣(unequal probability sampling)且母體
總數 N=4，樣本數 n=2。
(一)求所抽出的樣本包含編號3的機率。
(二)提出母體總數的不偏估計量。
(三)以所有可能的樣本結果驗證(二)。

問題是在(三)

我用H-T估計式來當第二題的估計量
       ︿    N    y_i*t_i
       θ = Σ  -----------
            i=1    π_i

想法：1.先算出每一個元素的包含機率(π_i)
      2.算出所有可能的母體總數估計值
      3.建立母體總數估計值的抽樣分配
      4.算出此抽樣分配的期望值，看它是否會等於母體總數

過程：π_1 = 1-(1-0.1)^2 = 0.19
      π_2 = 1-(1-0.1)^2 = 0.19
      π_3 = 1-(1-0.3)^2 = 0.51
      π_4 = 1-(1-0.5)^2 = 0.75
                                      ︿
        樣本編號       母體總數估計值(θ)           機率
      _______________________________________________________
         (1,1)    (10/0.19)+(10/0.19)=105.2632      1/16
         (1,2)    (10/0.19)+(20/0.19)=157.8947      2/16
         (1,3)    (10/0.19)+(50/0.51)=150.6708      2/16
         (1,4)    (10/0.19)+(80/0.75)=159.2982      2/16
         (2,2)    (20/0.19)+(20/0.19)=210.5263      1/16
         (2,3)    (20/0.19)+(50/0.51)=203.3024      2/16
         (2,4)    (20/0.19)+(80/0.75)=211.9298      2/16
         (3,3)    (50/0.51)+(50/0.51)=196.0784      1/16
         (3,4)    (50/0.51)+(80/0.75)=204.7059      2/16
         (4,4)    (80/0.75)+(80/0.75)=213.3333      1/16
        ︿
      E(θ)=(1/16)*(105.2632+2*157.8947+2*150.6708+2*159.2982+210.5263
                    +2*203.3024+2*211.9298+196.0784+2*204.7059+213.3333)
           =181.3003
      母體總數τ=10+20+50+80=160

      因為算出來的結果跟母體總數τ有點差距，所以想請問是不是我的想法有問題，
      還是有其他解法，麻煩幫小弟解惑，謝謝！

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推 folksuite: 終於有人發現這問題了！
→ folksuite: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) 錯了
→ folksuite: HT Estimator 所要用的是 effective sample size
→ folksuite: 還有你每個可能樣本組合的機率，算錯了...
→ folksuite: 舉例來說，(3,4)這組的機率應該是(0.3*0.5)*2=0.3
→ folksuite: 有興趣可看100_關務_第三題，這題坊間答案都是錯誤的!
→ folksuite: 至於你提的這題，建議用HH算，HT會超麻煩!
→ folksuite: 等高普考後，有空我會再分享歷年不等機率的考題答案。
→ flyyen: OK 謝謝