Re: [代數] 一題 lagrange′s

[suhorng ( )]

※ 引述《owem0410 (閒學生)》之銘言：
: http://i.imgur.com/jNBiu88.jpg
: 第一題感覺很直觀，因該是用 lagrange′s thm，但是怎麼謝感覺就是不對。不知道有沒有好心人可以給我提示。

[G : HㄇK] = [G : H][H : HㄇK]

欲證：[H : HㄇK] <= [G : K]

我們希望把每個 HㄇK 在 H 中的coset, g(HㄇK), 都唯一對到一個 K 在 G 中的coset

所以定義 φ(h(HㄇK)) = hK, h 是 H 的元素

(Recall: aH = bH <=> a^{-1} b \in H)

(1) 驗證 φ 是 well-defined

    設 h(HㄇK) = h'(HㄇK), 於是 h^{-1} h' \in HㄇK

                             => h^{-1} h' \in K

    因此 hK = h'K.

(2) 證明 φ 是 injective

    設 hK = h'K 其中 h,h' 是 H 的元素,

    則 h^{-1} h' \in K

    => h^{-1} h' \in HㄇK

    => h(HㄇK) = h'(HㄇK)

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推 owem0410    :感謝!我研究看看
→ owem0410    :抱歉有點符號上的不懂a^{-1} b \in H 是指
→ owem0410    :a的inverse乘上b還會在H裡?
→ suhorng     :是的