推 rehearttw :感謝！ 05/01 21:23
推 rehearttw :請問，arctan1是不是pi/4 05/01 21:28
→ rehearttw :？ 05/01 21:28
看成arcsin x XDD 已訂正
推 rehearttw :感激不盡！謝謝！ 05/01 21:48
※ 編輯: keith291 (1.162.102.10), 05/01/2014 21:59:55
※ 引述《rehearttw (易懷)》之銘言：
: 請問級數1/2-1/6+1/10-1/14+-...
: 無限項之和如何計算？
: 感激不盡！謝謝！
∞
1/(1+x^2) = Σ (-1)^n x^2n = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ... if |x| < 1 = R
n=0
左右逐項積分得 arctan x = C + x - x^3/3 + x^5/5 - ....
代入 x = 0 , 得 0 = C
=> arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - .... 收斂半徑 R 仍為 1
代入端點值 x = 1 , 無窮級數 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... 由交錯級數檢驗得證收斂
by Abel定理
此時有 π/4 = arctan 1 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
所求為 1/2 - 1/6 + 1/10 - 1/14 + ... = π/8
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