[幾何] smooth Fano varieties simply connected

[willydp (willyliu)]

smooth Fano variety都是simply connected.

這個敘述類似於黎曼幾何中的Synge's theorem:
偶數維正曲率(sectional curvature > 0)可定向緊流形都是simply connected.

問題在於, Fano variety不一定能找到Kähler-Einstein metric,
所以不能直接用Synge's theorem做.

我google了一下, simply connected的證明用到rationally connected這個概念,
但我不懂birational geometry.

請問有沒有辦法消除Kähler-Einstein metric的問題? 或者有沒有其它證明?
或者有沒有étale fundamental group = 1的證明?

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edit (June 13).
找到微分幾何的方法了. http://www.jstor.org/stable/1970298
先用Bonnet-Myers, 說明它的π_1是有限群.
然後, 假設有一個k-fold covering, 那麼這個k-fold的χ=Σ(-1)^p h^{p,0}
會是原本manifold的k倍, (可以用curvature form和Riemann-Roch得到).
再用Kodaira vanishing, 這二個manifold的h^{p,0}=0, for p > 0, h^{0,0}=1.
所以k=1.


我想知道有沒有純代數幾何的方法, 也許:

可以用Grothendieck-Riemann-Roch, 得到fét covering的某個invariant的公式.
問題是, 在positive characteristic沒有Kodaira vanishing.

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※ 編輯: willydp (202.169.164.72), 06/13/2014 09:05:13
推 Babbage     :你可以到http://math.stackexchange.com/問
→ Babbage     :我不知道你的問題有多難，或許要到mathoverflow問。
→ willydp     :看起來沒有難到要去MO問