Re: [微積] 求旋轉體體積最小值

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《jackjack369 (EMU1200)》之銘言：
: 將 y=sinx, 0≦x≦π 及 x-軸 所圍成的區域
: 繞 y=c, 0≦c≦1旋轉。 求c之值使其繞成的體積最小。


這樣繞出來的東西會有點奇怪

假設體積是y = sinx函數在y > c的部分, y = sinx函數在y < c的部分, x軸

的曲面所夾的封閉區域

意思是內部有區域不算體積的部份

令sin(a) = sin(b) = c  (a < b)

If c >= 1/2

     a                        π/2
V = ∫ 2π(c - sin(x))^2 dx + ∫2π[(c)^2 - (sin(x) - c)^2] dx
     0                         a

If c <= 1/2

     a                         π/2
V = ∫ 2π(c - sin(x))^2 dx + ∫2π[(sin(x) - c)^2 - c^2] dx
     0                         a


dV/da = 2π(c - sin(a))^2 - 2π[c^2 - (sin(a) - c)^2]  c >= 1/2

        2π(c - sin(a))^2 - 2π[(sin(a) - c)^2 - c^2]  c <= 1/2


dV/da < 0 when 1 >= c >= 1/2


dV/da >= 0 when 0 <= c <= 1/2


所以最小值發生在c = 0的時候


其實用猜的應該猜c = 0的情況最小

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推 jackjack369 :我只知道c一定小於等於1/2
→ jackjack369 :我想的方向也是微分找極值
推 jackjack369 :不過我覺得這樣會少一塊耶
→ jackjack369 :c>=1/2時，dv/da應該是大於0
→ jackjack369 :因為當c>=0時，只需考慮y=c下的面積旋轉
→ jackjack369 :      c>=1/2
→ jackjack369 :因為當c>=1/2時，只需考慮y=c下的面積旋轉
→ jackjack369 :c愈往上移 底下面積越大  半徑也越大
→ jackjack369 :所以c>=1/2時，應該是遞增
→ Honor1984   :c就算>=1/2 你不能對a~b之間那塊視而不見 整個sinx和
→ Honor1984   :x軸只是體積的邊界
→ muxiv       : c愈往上移 底下面積越 https://muxiv.com