[其他] 矩陣運算證明

[rockken ()]

最近在算到一個矩陣題目，不知道要如何下手，所以想請大家幫我想看看。

題目: Let A and B are positive matrices. Show taht

c A^-1 +  (1-c) B^-1 >= [ c A + (1-c) B ]^-1,  0 < c < 1


我想法是，因 A, B 都是正定， 所以應該找的到一組 P=[P_1,...,P_n]

可以同時對角化。 對應 A 特徵值 [lamda_11, lamda_12, ..., lamda_1n ]

對應 B 特徵值 [lamda_21, lamda_22, ..., lamda_2n ]

然後用 1/x， 他是凸函數，所以使得

c * 1/lamda_11 + (1-c) / lamda_21 >=  1/(c*lamda_11+(1-c)*lamda_21)

兩邊同乘 P_1P_1'

c * 1/lamda_1*P_1P_1'  + (1-c) / lamda_2*P_1P_1'

>=  1/(c*lamda_1+(1-c)*lamda_2)*P_1P_1'

最後，相加 n 組特徵值，即可得證。

因為不太會用 BBS 打數學符號，且小弟數學薄弱不知這樣證明是不是有很大問題。

請大家見諒， Orz。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.173.19.17
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※ 編輯: rockken (1.173.19.17), 09/08/2014 05:09:24
→ njru81l     : 你需要正定矩陣 >= 的定義
→ kerwinhui   : 只知A,B正定不代表一定能同時對角化
→ kerwinhui   : 兩個可對角化的矩陣A,B能同時對角化需要的是AB=BA
→ rockken     : 謝謝兩位，後來我用光譜分解 + 凸函數即得證。