[微積] Taloy's theorem

[ej001 ( )]

對於一個可在a點, 微分無窮多次的函數, f(x):R -> R

Taylor's theorem告訴我們

此函數可以在a點展開成如下所示

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + R1(c1,x), 其中c1存在於在x與a之間


也可以展開成如下所示


f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2!)*f''(a)(x-a)^2 + R2(c2,x)

, 其中c2存在於x與a之間

以此類推, 我們可以得到無窮多個

c1, c2, c3, c4, ...

請問此數列, {c}, 是否會在某些條件下, 收斂到a?

因為好奇, 我用excel分析sin(x)在a=1或a=0 的情況,

都發現各自的c數列都有往a靠近的趨勢, 不知道是否有相關定理是在描述此現象?


附註:

R1 與 R2 定義在維基百科的連結內
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

在 [Explicit formulae for the remainder] 的(2.2)小節裡面

其中我做的實驗是採用 Lagrange form of the remainder
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.228.80.234
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1419916596.A.E6F.html
→ bjiyxo      : 簡單的函數微積分課本應該都會說明這個現象
→ bjiyxo      : 不過不是所有taylor series都會收斂到原函數
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:22:57
那些taylor series不會收斂到原函數?
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:31:44
→ bjiyxo      : 三角函數跟exponential函數會完全收斂到原函數
→ bjiyxo      : 但是例如1/(1-x)=1+x+x^2+...就可以看出x>=1或<=-1
→ bjiyxo      : 就不收斂了
您好, 那您可能要說:
對於某些taylor series來講, 並不是對所有的x屬於R, 都會收斂.(這樣講比較精確)

因為taylor series的定義就是針對那些, x在某個範圍內, 已經收斂的級數

(偏離主題了)
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:55:48
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 13:57:07
→ bjiyxo      : 也不是這樣說，例如f(x)定義在x=0時等於0，x!=0時
→ bjiyxo      : e^(-1/x^2)，你會發現taylor series=0，除了x=0以外
→ bjiyxo      : 都不收斂到原函數
→ bjiyxo      : 而計算f'(x)需要一些技巧，limx->0 e^(-1/x^2)/x
→ bjiyxo      : =(1/x)/(e^(1/x^2))在上下用l'Hopital's Rule解
我完全同意您的觀點, 但此觀點跟我之前對taylor series的想法有矛盾嗎?
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:10:07
→ bjiyxo      : 我剛剛舉例的taylor series確實收斂，可是卻不等於
→ bjiyxo      : 原函數
了解,寫謝你.

問題點就是, 當x在適當的範圍內, taylor series一定會收斂,

但存在不是收斂到原函數的taylor series

(還是離題了..)
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:21:24
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:24:05
→ bjiyxo      : 呃..我搞錯你的意思了，那你怎麼定義你的R1R2?
謝謝你再次注意到內文

R1 與 R2 定義在維基百科的連結內
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

在 [Explicit formulae for the remainder] 的(2.2)小節裡面

其中我做的實驗是採用 Lagrange form of the remainder
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:37:15
→ bjiyxo      : 我想了個不太嚴謹的做法，R=f微k+1(xi)=
→ bjiyxo      : f微(k+1)(x-a)^(k+1)+f微(k+2)(x-a)^(k+2)+...
→ bjiyxo      : 我放棄，剛剛想的邏輯不對...
沒關係, 因為我是想說, 我的數學程度只到高等微積分

沒修過實變, 只是想知道是否有定理是在描述此現象罷了
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 14:58:57
→ wohtp       : 有個叫做「收斂半徑」的東西...
→ wohtp       : 啊，你問的好像是不太一樣的東西...所以你的Rn函數
→ wohtp       : 是怎麼定義的？
→ wohtp       : 如果沒有特殊定義限制住Rn的形式，隨便都可以製造出
→ wohtp       : c_n --> a 啊
Rn的定義請看推文區的白字
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 19:35:02
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 19:44:04
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 19:45:53
→ wohtp       : 先確認一下，你知道c_n都不是常數而是x的函數吧？
→ wohtp       : 但是對任何x，c_n(x)的確都會趨近a的
這我知道 :D
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 20:05:19
→ wohtp       : 假設f無限次可微，而且無窮泰勒級數收斂
→ wohtp       : 則 R_(k+1) 跟泰勒級數第(k+1)項的差就是級數(k+2)
→ wohtp       : 項以後的和
→ wohtp       : 因為無窮級數收斂，後面的和遲早要收斂到零去
R -> 0 跟 c_n -> a 有什麼關係?
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 20:22:13
※ 編輯: ej001 (36.228.80.234), 12/30/2014 20:28:12
推 jacky7987   : 如果f原本就是多項式 那餘項隨便取哪點 值都是0阿XD
推 arthurduh1  : 樓上點出題目敘述的不足之處  應該要取所有可能
→ arthurduh1  : 值的 inf.    XD