課程名稱︰微積分乙下
課程性質︰必修
課程教師︰蔡聰明
開課學院：管理學院+經濟系
開課系所︰
考試日期（年月日）︰101.04.19
考試時限（分鐘）：110
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
乙卷 滿分125分
∞ ∞
1.若級數Σ│An│收斂，證明級數Σ An也收斂。(10分) 反之則不然，請舉出反例。(5分)
n=1 n=1
2. 設f(x)=cos^2(x) ，求 f(x)對原點x=0的泰勒展開式，要寫出收斂的範圍。(10分)
∞ (-1)^(n+1)
3. 考慮冪級數Σ------------(x-2)^n ，回答下列各小題：
n=1 n*2^n
(i) 求收斂半徑與收斂區間。 (10分)
(ii) 級數在哪些點絕對收斂？ (5分)
(iii)級數在哪些點條件收斂？ (5分)
4. 判斷下列無窮級數的歛散。 (50分，每題各10分)
∞ 1
(i) Σ ---------
n=1 1+ln(n)
∞ n*2^n*(n+1)!
(ii)Σ --------------
n=1 3^n*n!
∞ ln(n)
(iii)Σ (-1)^(n+1)--------
n=1 n
∞
(iv)Σ (1-1/n)^(n^2)
n=1
∞ n^n
(v)Σ -----------
n=1 (2^n)^2
5. (i) 寫出可以救人一命的泰勒定理 (不必證明)。 (10分)
(ii) 利用(i)推導出MVT 與 Newton-Leibniz 公式。(10分) (要寫出完整的假設與結論)
6. 假設 R＞0 並且函數f(x)在開區間(c-R, c+R) 上可以寫成冪級數
f(x)=a0+a1(x-c)+a2(x-c)^2+.....+an(x-c)^n+....
(n)
f (c)
試證明：an=--------------，其中n=0,1,2,....,n。因此，f(x)的冪級數展開式一
n!
定是泰勒展開式。 (10分)
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