[試題] 103上 林太家 偏微分方程式一 Test1

[t0444564 (艾利歐)]

課程名稱︰偏微分方程式一
課程性質︰研究所基礎課
課程教師︰林太家
開課學院：理學院
開課系所︰數學系、數學研究所、應用數學科學研究所
考試日期︰2014年10月14日(二)，10:20-12:10
考試時限：110分鐘
是否需發放獎勵金：是

試題 :

Test 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10/14/2014

1. (20%) Φ(x) = -log|x|/(2π) for x∈R^2, x≠0. Prove that

　　-△u = f in R^2,

　 where f ∈C(∞,0)(R^2) and u(x) = ∫ Φ(x-y)f(y)dy　for x ∈R^2.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 R^2

　　　　　　 _　　　　　1
2. (20%) Let u(r) = ----------　　∫ u(x)dS_x　for r > 0
　　　　　　　　　　  r^(n-1)　　∂B(0,r)

　　and u ∈C^2(R^n). Prove that
　　　_　 ___
　　△u = △u for r > 0.
　　　　　　　_
　　Note that u is radially symmetric in R^n
　　but u may NOT be radially symmetric in R^n.

3. (20%)
　　Prove that Laplace's equation △u = 0 is rotation invariant; that is, if
　　O is an orhogonal n ×n matrix and we define
　　　　　　　　　　　　　　v(x) := u(Ox)　(x∈R^n),
　　then △v = 0.

4. (20%)
　　Let U^+ denote the open half-ball {x∈R^n | |x|<1, x_n > 0}.
　　　　　　　　_
　　Assume u∈C(U^+) is harmonic in U+, with u = 0 on ∂U^+ ∩{x_n = 0}.
　　Set

　　　　　　　　　　v(x) :=  u(x)　　　　　　　　　　if xn≧0
　　　　　　　　　　　　　　-u(x1,...,x_(n-1),-x_n)　if xn＜0
　　for x∈U=B^o(0,1). Prove v is harmonic in U.

5. (20%)
　　　　　　　　　_
　　We say v∈C^2(U) is subharmonic if
　　　　　　　　　　　　　　　　　-△v≦0　in U.
　　(a) Prove for subharmonic v that
　　　　　　　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　　　v(x) ≦ ---------- 　∫vdy　　　for all B(x,r)⊂U.
　　　　　　　　　　　　　　 |B(x,r)|　B(x,r)

　　(b) Prove that therefore max v = max v.
　　　　　　　　　　　　　　　U　　　∂U

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