磁通量 ( magnetic flux ) 及磁鏈 ( magnetic flux linkage )

[ed78617 (雞爪)]

※ 引述《wubohan (華仔)》之銘言：
: 假設有一長導線,裡面流著一密度均勻的電流(導線半徑為R),
: i為導線所載的總電流,是問導線內電感的值?
: 其實教科書的標準解法相信大家也都清楚:
: 先算用安培定律算出導線內磁場值 B=u*i*r/(2pi*R^2)
: 再利用磁場儲存位能公式 U=B^2/(2*u)
: 最後再用U=L*i^2/2計算出電感.
: 但是小弟我想說是否可以用另一種方法計算:
: 利用"磁通量=L*i"計算
: 磁通量就是 "B dr 作積分"積分範圍是0~R.
: 之後再除上i,即可得到L電感值.
: 但是算出來的答案居然變小一倍~~~至於為什麼這兩種算法會相差一倍
: 其實我想了很久...
: 最後我自己的解釋方式是:
: 此種計算方式在導線外會一樣,但是如果在導線內的話會有所不同,
: 在導線的內部記算時磁場磁場在上半圓和下半圓的方向是顛倒的,
: 可以將整條導線的電流分成上半圓的逆時針電流+下半圓的逆時針電流
: 上半圓的電流貢獻上半部的磁通量,下半圓電流貢獻下半部的磁通量
: 而上下半圓貢獻的磁通量指的是同一個磁通量,只需要考慮一個半圓的磁通量即可
: 所以最後電流要除以2
: (因為在導線內部計算磁通量的時候分成上下兩部分)
: 以上是小弟的一點想法,不知道這樣合不合理,希望大家給予指教.
: PS.此題為Griffith電磁學的problem7.28

回覆一下 #1ER8jTGI 這篇舊文

該文的大意是，使用 0.5*B^2/μ0 = 0.5*L*i^2，可以求得電流均勻導線的自感L

但若是使用 (total magnetic flux) = L*i 一式，將無法求得正解，其中的問題為何？


在談這個問題前，先離題一下，計算螺線管線圈的自感
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若螺線管的匝數為N，半徑為a，總長度為l，導線(很細)電流為i，則

B = μ0*N*i/l

磁通量φ = μ0*N*i*π*a^2/l

                       μ0*N^2*π*a^2
故 N*φ = L*ｉ => L = -----------------
                             l

上式中，φ稱為magnetic flux，N*φ為magnetic flux linkage

有些書不會提flux linkage，因為它僅是 alternative term for total flux



回到本題，原po的錯誤在於，所計算的通量φ是flux而非flux linkage，

對於半徑不可忽略的粗導線，需考慮一個等效的匝數(其實是乘上一個權數，

看計算範圍是佔導線的幾分之幾)，所列的式子應為 (magnetic flux linkage) = Li。

對於一條長度為l，半徑為a的導線，計算如下：

      μ0*I*r
dφ = -------- l*dr
      2*π*a^2

                  π*r^2
乘上匝數 N(r) = ----------
                  π*a^2

                         a
magnetic flux linkage = ∫ N(r)*dφ = Li
                         0
        μ0*l
得 L = --------  ，與 0.5*B^2/μ0 = 0.5*L*i^2 獲得的結果相同
         8*π


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→ yyc2008: 請問你的匝數表達式怎麼得到的?
→ ed78617: 看ampere loop裡包到導線的幾倍截面積
→ yyc2008: 這跟一般的匝數認知好像有點不同? 有沒有比較嚴謹的定義?
→ yyc2008: 一般的匝數指的應該是電流環繞數 可是安培圈是磁場環繞
所以可能用權數來理解比較好
※ 編輯: ed78617 (223.143.157.224), 08/13/2014 21:47:49
→ yyc2008: 但是一般教科書是用螺線管 不是直導線 有特殊的幾何形狀
→ yyc2008: 現在這個問題 像是很多直導線平行綁在一起 教科書好像沒
→ yyc2008: 有提過直導線的L吧?
→ yyc2008: 還是你可以先從直導線的電感說起嗎?謝謝
電感的定義就flux linkage隨電流變化的比例，不論導線是直的或是一個圓環都能計算
※ 編輯: ed78617 (223.143.157.224), 08/13/2014 21:54:22