Re: [極限] 證明極限連續,可微

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言：
: 各位好:
: (1)
:           1
: g(x)= sin──, x≠0
:           x
:        0     , x＝0
: 則g(x)在x=0處是否連續?說明之.

要證明不連續, 可以由定義, 證明
存在 ε>0, 使得對於任意 δ>0 都能找到 x 滿足
|x-0|<δ 且 |g(x)-g(0)| = |g(x)| ≧ ε

取 ε=1/2, 不難找出 x 滿足上述條件, 例如
取 x = 1/[(k+1/2)π], 其中 k 是正整數,
無論 δ 取多少, 只要 k 夠大, 必能使 0<x<δ,
而 sin(1/x) = sin[(k+1/2)π] = ±1, 即 |g(x)| = 1 > ε.


另法是證明 lim_{x→0} sin(1/x) 不存在, 如此 g(x)
當場就不連續. 而要證明這點, 只要找到一個數列 {x_n}
收斂到 0, 但對應的數列 {g(x_n)} 不收斂. 因為如果
lim_{x→0} g(x) 存在, 任意非 0 而收斂到 0 的 {x_n}
必然使 lim_n g(x_n) = lim_{x→0} g(x).

這方法有一個更簡便的是取兩數列 {x_n}, {y_n}, 分別
均非 0 而收斂到 0, 但 lim_n g(x_n) ≠ lim_n g(y_n).




: (2)
:            1
: f(x)= xsin── ,x≠0
:            x
:       0        ,x＝0
: show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0.
: 剛碰到證明題,不知該如何下手?
: 煩請高手解說.


一般初學者用夾擠定理做這題的 "連續" 子題, 可能會寫:
∵ |sin(1/x)|≦1  ∴ x≠0 時 -x ≦ f(x) ≦ x.
這樣寫疏忽了一件事實, 那就是 x 可能是負的.
正確地寫法是 -|x| ≦ f(x) ≦ |x|,
當 x→0 時 lim |x| = 0, 所以得 lim f(x) = 0.


至於 f(x) 在 0 不可微, 只要考慮導數定義式:
        f(x) - f(0)            x sin(1/x) - 0
  lim  -------------  =  lim  ---------------- = lim sin(1/x)
 x→0     x - 0         x→0       x - 0        x→0
而最右一式已證其不存在, 故得證 f'(0) 不存在.


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→ yyc2008     : (2)  0 ≦ f(x) ≦ x
→ yhliu       : (2) 0≦ f(x) ≦ |x| 當 x≠0
→ yhliu       : 注意 x 可能為負值. 因此 f(x) < x 是錯的.
→ yyc2008     : 我忘了加絕對值 想說的是f(x)恆大於等於0 所以沒有
→ yyc2008     : 你會說的問題吧?
→ yyc2008     : xsin1/x ≧ 0
推 keith291    : to 樓上,f(x)並不恆非負   無聊的例子 : x=2/(3π)
→ yyc2008     : 對 我沒仔細想清楚
→ yhliu       : 2F 也是錯的. 不過, 即使 f(x) 非負, 也不能寫
→ yhliu       :  -x ≦ f(x) ≦ x.
→ yyc2008     : |f(x)| ≦ |x|應該最淺顯沒問題