[解題] 高一下 數列與級數

[robenten (:)]

1.年級： 高一下
2.科目： 數學
3.章節：
        高一下 數學歸納法
4.題目：
        設 n 為自然數, 若2^(3n+3)-7n+41恆為
        正整數 m 的倍數, 請問m有幾種不同的值?

                        A: 3種  http://ppt.cc/dFou 

5.想法：
           其實小弟我不太確定這題目應該歸類到哪一單元
           比較直觀的想法是直接將n=1與n=2帶入
           得到f(1)=98  f(2)=539
           因為f(2)-f(1)不影響公因數的值
           ==> f(2)-f(1) = 441 = 3^2*7^2
           因3不是f(1)或f(2)的因數, 49是兩者的公因數
           所以可以直接猜想 m 的最大值可能為49
           49的因數1,7,49皆為可能的答案

           如果要證明的話, 目前猜測一種可能作法
           2^(3n+3)-7n+41  ==>  (7+1)^(n+1)-7n+49-7-1
                           ==>  (7+1)^(n+1)-1  -7(n+1) +49  之後再整理

           不過因為這題是選擇題, 我想應該不需要這麼複雜,
           還麻煩各位版友給點意見, 謝謝


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※ 編輯: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 21:19:43
※ 編輯: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 21:20:16
→ wayn2008: 數學歸納法
→ banach: 代入 n=1, 2 得前兩項為 49*2 和 49*11
→ banach: 因為 m 須整除數列的每一項，所以只能 1, 7, 49
→ robenten: 剛想到一個作法    f(n+1)-f(n)必為m的倍數
→ robenten: f(n+1)-f(n) 整理後可得 7*2^(3n)-7 = 7[(2^3)^n-1]
→ robenten:  = 7[(7+1)^n-1]   1可以消掉  整理後必為49的倍數
※ 編輯: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 22:42:16
→ wayn2008: 這題為高一下 1-2 數學歸納法
※ 編輯: robenten (36.224.48.229), 11/06/2014 22:47:39
→ robenten: 以更正  thanks  :)