[討論] 關於抽卡機率與結果

[Masckat (Masckat)]

    可能是最近日服跟國際服都在抽Fes池，因此板上有許多人在討論抽卡的機率
和結果的問題，看的出來大家對藍色惡魔積怨已深。同樣作為受害者，我稍微試
著計算了一些關於抽卡機率的數字，希望能跟板友們稍作討論。

在進行計算前，需要先有一些假設：

1.抽卡機率可被視作二項式機率分布，即個別抽取的機率互相獨立。

2.執行機率模型時(即抽取時)，取樣為理論上的真隨機數。

會做以上假設的理由是程式在執行亂數取樣時，通常並非真正的隨機取樣，而是根
據一些狀況來決定此次的結果。當然在行為上，程式可以做到非常接近機率模型的
結果，但在取樣上可以做到多「隨機」我並不是很清楚，若有板友對這方面比較了
解的話還請幫忙補充。

根據Fes期間的表定三星機率6%、PU機率0.7%，如果我們考慮抽一井與兩井的狀況，
可以得到(數字表示成功次數)：

1.一井(200抽)

期望值 = 12
標準差 = 3.36
當池PU期望值 = 1.4
當池PU標準差 = 1.18

2.兩井(400抽)

期望值 = 24
標準差 = 4.75
當池PU期望值 = 2.8
當池PU標準差 = 1.67

可以看到由於樣本數較少，標準差對於期望值的比例約有20%~27%，因此較容易產生
「相對」抽得很好或是很爛的狀況。舉例來說，對於單一個玩家而言，他抽了一井只
出了9隻三星，儘管這個結果占比其實約有8.73%，但他會覺得實際抽卡的機率似乎只
有4.5%而感到相對剝奪感。在PU的部分，由於機率只有0.7%，因此一井內沒有抽到PU
的機會其實有約24.5%，兩井時亦有6%。

另外，同樣是把6%三星機率抽成3%(或小於)的狀況，在一井的情況有4.13%(比成功撞
進阿特拉哈西斯方舟高一點)，而在兩井時會剩下0.44%，略小於單抽出奇蹟。

而由於二項式機率分布離散以及結果不為負的性質，一井情況下，實際抽取成功數看
起來小於表定機率的情況約為45.8%，大於的情況為42.4%，等於的情況為11.8%。兩
井的狀況則分別為47%、44.6%以及8.4%，亦即在大部分的情況下，會比較容易感覺抽
得爛，而此狀況會在樣本數夠大時被緩和(此時略可近似於常態分布)。

這篇只是希望能提供一個明確的數字，來說明各種情境下抽卡可能遇到的結果，以及
藍色惡魔有多可惡(？)。至於明明出彩數不錯卻只補了一個洞的情況，那又是另一個
故事了。

第一次發文，如果有排版之類的問題還請見諒。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.155.238 (臺灣)
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推 Hsan: 討論區應該還有個倖存者偏差啦 抽得好的會出來曬卡 抽得不
→ Hsan: 好的會上來藍色蛋雕 中規中矩的反而不太會上來討論
→ Hsan: 檔案還有很容易歪的問題

的確，我這次Fes歪了一堆已經有的，光是ミカ就來了4次，結果洞卻只補了一個ウミカ......

推 sisley5566: 上次3.5歪到歐洲去，這次都還回來了
推 tooyahaya: 不太懂裡面提到9隻三星體感4.5%的意思？求詳細說明
推 Ken99523: 9/200吧
對，因為計算機率時是用期望值除以總樣本數，而對單一玩家來說會習慣於直接把自己的
結果作為期望值計算，所以會有個人體感機率偏低或高的狀況。
※ 編輯: Masckat (36.227.155.238 臺灣), 01/28/2025 03:19:30
推 isuy: 400抽26隻3星其中莉央x2,ネルx3,水花x2,水叔x1,禮奈x2,黑子1
→ isuy: 額外再抽10+4抽，2隻3星，ネル再+1
推 isuy: 全都都是抽自由主義那池
→ lolicon: 誇張
→ mumeisuki: 這次7/200 但有2new+戰叔黑子各一 應該算亞洲吧
推 jya: 所以非到極致也是一種歐洲佬（咦

畢竟歐洲跟非洲也就在隔壁(？)而已

推 aaasahi: 我3 FES一井只有4彩，3個標準差外，笑死。
推 ptttaigei:  ・ω・ 推科普
推 yeeachie: 440抽21彩0pu路過...
※ 編輯: Masckat (61.61.220.20 臺灣), 01/29/2025 16:51:40
推 bladesinger: 說真的200抽一井大家都抽到幹到不行，當年剛開服300
→ bladesinger: 抽一井怎麼沒島真的是業界奇蹟
這部分我覺得就是運營如何制定營利策略與玩家心理的平衡了。從理論上來看，如果一井
是300抽，抽卡資源(石頭、十抽券等)同等比例的情況下，長期下來玩家群是賺的，因為
標準差對期望值比例會變小。但一方面300->200抽相對於標準差的變動來說，對玩家是個
更為直觀的數字變化，另一方面即使理智上都明白結果並沒有超出機率模型，暴死的當下
還是會很直覺的不爽，所以改成如今的200抽應該是在各種條件下較為平衡的結果。
※ 編輯: Masckat (49.216.191.50 臺灣), 01/30/2025 11:17:02
推 tomalex: (′・ω・‵) 400太多 就會KV
推 lolicon: 我打破有史以來的記錄了 400抽 27彩3莉+7尼pu
→ lolicon: 打破我自己