[心得] 桌遊想德美-隨機還給老師

[north4909 (魚子醬)]

這一系列的影片是我整理出來，關於遊戲設計的基礎知識
目前有十五集，希望能夠持續每週更新（汗），算是拋磚引玉吧

桌遊想德美 Ep.15《隨機還給老師》

隨機性是遊戲不可或缺的一環，然而很不幸的我們大家的數學老師都常常請假，更不幸的
是，如果你想要設計遊戲，你就得先把機率方面的數學搞好

當然我沒那麼厲害，可以幫你把已經還給老師的機率整個重修、重學一遍，我們會儘量只
講設計要用到的機率

有圖+有聲版本
https://youtu.be/LXgognxUrk0

遊戲有哪裡會用到機率？空間、物件、行動、計分...呃好啦其實全部都要用到，沒有辦
法，一款遊戲，我們只能決定隨機的比重大概要佔到多少，很難有辦法去限制它只影響遊
戲裡的某些部分

基本上你一旦把機率放到遊戲裡，它就影響了整個遊戲，即使只是其中的一個環節，這個
環節帶出來隨機的結果，最終也會連帶影響遊戲的其他部分

機率難嗎？與其說難，不如說我們大多數的人，對於數學的直覺通常都是錯的，甚至根本
剛好反過來，如果你真的想要設計遊戲，沒有別條路，就只能老老實實的面對它啦

讓我們先輕鬆一點聽個故事，機率是怎麼被提出來的呢？其實機率正是因為設計遊戲，才
被人們提出來的

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1654年，法國有個狂熱的賭徒叫安東尼，他發明了一個用1顆骰子來玩的遊戲，規則是這
樣的，所有的玩家會下注來賭，看安東尼能不能在骰4次的機會裡面，最少骰到一個6

如果骰4次連一個6都沒有，那下注的人就贏一倍回去；如果安東尼有骰到6，那就能把你
下的注吃掉

安東尼靠這個遊戲贏了一堆錢，很快他週遭的朋友都不跟他玩了，因為這個遊戲好像怎麼
玩都是他贏，誰會想當笨蛋白白送錢給他呢？

聰明的安東尼食髓知味，決定要再來設計一個新遊戲，繼續誆別人的錢

新遊戲這次是用2顆骰子，規則大同小異，一樣大家下注，由安東尼來擲2顆骰子，如果他
在24次裡面，能至少骰到一次12，也就是兩個6，那就算安東尼贏；反之24次都槓龜的話
，下注的人就贏一倍回去

一朝被蛇咬，十年怕草繩，他的朋友一開始都不理他，但很快的就有人迷上了這個新遊戲
，為什麼？因為安東尼開始會輸錢了

他不信邪，到處找人再玩、再賭，幾乎把原先賺的錢又吐回去了，安東尼百思不得其解，
照他設計的新玩法，他有先算過，獲勝的機率應該是一樣的啊...

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我們先看看他怎麼算，原先的玩法是丟一顆骰子4次，只要出現一次6，就算安東尼贏；一
顆骰子出現6的機率是1/6，丟4次就乘以4，4/6，也就是66%，哇66%都是安東尼會贏，所
以他前面賺很大是正常的

但第二種玩法，兩顆骰子丟24次，只要出現兩個6就算他贏；1顆骰子出現6的機率是1/6，
兩顆骰子都出現6的機率就是1/6乘1/6，1/36，然後我丟24次，也就是24/36，一樣都是66%
，換湯不換藥，照理來說贏面應該一樣啊，怎麼到最後會輸到脫褲子咧？

滿頭問號的安東尼寫信去問當時有名的數學家布萊斯‧帕斯卡，向他請教這是怎麼一回事
，帕斯卡覺得這個題目很有趣，就寫信跟另一位數學家費馬一起討論，從此就開啟了數學
的一個新分支，也就是機率論

故事到這裡，我們都知道安東尼一定是算錯了，但他到底錯在哪裡？正確的算法又該麼算
？大家可以試著算一下，下一期我們就開始一步一步來解答，我是魚子醬，咱們下期再會

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推 xiturz: 第一次應該機率是1/6，所以大概是16%的機率。第二次應該是
→ xiturz: 1/36，大概機率是3%。在機率上並不會因為多骰幾次機率就
→ xiturz: 提高。在次數上應該是提高期望值。不知道這樣的觀念對不
→ xiturz: 對...呵
推 typedying: 因為不能直接相乘啊
→ typedying: 1-(5/6)^4   1-(35/36)^24
→ typedying: 看來安東尼是文組的XD
推 a27281591: 獨立事件 所以要分開計算
推 ddxu2: 因為2/3的期望值包含了4次中骰出2顆以上的6的機會，但實際
→ ddxu2: 上骰出第一顆6時就結束了，所以要扣掉4次中骰出2顆以上的6
推 martian001: 耶 機率來了
→ ddxu2: 的情形。
→ ddxu2: （或是用反面算）
→ ddxu2: 要想像這件事情，可以想像自己丟了60個骰子，其中期望值預
→ ddxu2: 期會出現10個6，現在把這60顆骰子排成一列，然後一顆一顆依
→ ddxu2: 序當作骰出的結果，贏的次數期望值是10（因為有10個6），但
→ ddxu2: 根據不同的排列順序，遊戲的場數最多可以到22局
推 LinOne: t大的算法可以理解；可是文章中的說法哪裡出錯了呢？
推 alvinns: 丟4次機率不會直接휴,不然丟硬幣兩面各50%,丟4次就200%？
推 whatai: 想提問 連續的狀態跟賭徒謬論的差異在哪嗎
推 AtDe: 應該直接用t大的算法吧,第一個勝率51.5%,第二個勝率49.5%
推 ddxu2: li大可以看我的推文
推 LinOne: 感謝dd大，看了;只是我找不出文章中的說法的錯誤，請指點
推 Django: 原文那個錯誤吐槽點很大啊 你繼續延伸下去 丟六次的話
→ Django: 勝率是1/6* 6 = 100% ...所以丟六次必定出現一次6?
→ Django: 或是我說我丟兩次硬幣出現至少一次頭的機率也是100%
推 ddxu2: 那樣的算法得出的是期望值，預期在4次擲骰內會骰出共幾個6
→ ddxu2: ，期望值是2/3個6。把擲骰次數變多就可以想成是預估，例如
→ ddxu2: 擲60次期望值會出現10個6
→ ddxu2: 會不對的原因是，這個期望值的算法包含了四次中有兩個以上
→ ddxu2: 的6的情況。但實際上遊戲中沒有這種情況，只要擲出一個6遊
→ ddxu2: 戲就結束了。
→ ddxu2: 回dj大，擲兩次硬幣，期望值會出現1個頭；
→ ddxu2: 但擲兩個硬幣，出現至少一個頭的機率是3/4
→ ddxu2: 期望值比3/4多出了1/4，這是因為「兩個都是頭」的情況期望
→ ddxu2: 值會多算那一個頭。
推 Django: 嗯~~我是提供給Lin大一個為什麼算法是錯的解釋而已
→ Django: 雖然不是多嚴謹XD
推 leo7283: 4樓正解  簡單明瞭
→ leo7283: 文中的命題是條件機率(貝式定理)  機率不能這樣相加
推 nhltc1975: 專業　推
推 LinOne: 感謝Dj大跟dd大的說明；原來我把期望值跟機率搞混了...
推 ddxu2: 期望值跟機率是很有關係的，這題用期望值為什麼會錯是因為
→ ddxu2: 這個期望值包含了不會出現的情況。
→ arcanite: 可是機率都在50%上下 怎麼第二種就變輸很大?
推 ddxu2: 可能原po只是比喻？因為應該都蠻難察覺差異的