[心得] 桌遊想德美-安東尼法則

[north4909 (魚子醬)]

這一系列的影片是我整理出來，關於遊戲設計的基礎知識
目前有十七集，希望能夠持續每週更新（汗），算是拋磚引玉吧

桌遊想德美 Ep.17《安東尼法則》

經過上一期，我們已經準備好要來回答安東尼的問題了：一顆骰子丟4次，至少出現一次6
的機率是多少？我們先用比較慢的算法，順便複習上一期的觀念

有圖+有聲版本
https://youtu.be/vrdI0rP_j1I

丟4次骰子，有可能會出現一次6、兩次6、三次6、或者最多四次6，這些狀況彼此不會重
複，所以我們只要把它們的機率分別算出來，再全部加起來，就得到答案了

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先來算最簡單的，四次6的狀況
這我們上次已經算過了，就是1/6x1/6乘4次，也就是1/1296

再來，那三次6的狀況呢？
4次裡面有3次是6、1次不是6，不是6的那一次可能出現在第一次、第二次、第三次、或第
四次，共4種情況

丟到6的機率是1/6，沒丟到6的機率則是5/6
所以第一次沒丟到6的情況就是5/6x1/6x1/6x1/6，等於5/1296；其它3種情況的算法一樣
，加起來就是20/1296，這是有三次6的狀況

那兩次6的狀況呢？
好直接講有6種可能，而每一種的機率都是5/6x5/6x1/6x1/6，25/1296，6種情況加起來就
是150/1296

最後，4次中只有一次6的狀況，有4種，每一種的機率是125/1296，加起來就是500/1296

於是我們得出了4種狀況各自的機率
四次6的機率是1/1296、三次6的機率是20/1296、兩次6的機率是150/1296、一次6的機率
是500/1296，全部加起來就是671/1296，大約是51.77%

所以，第一種玩法的確是對安東尼比較有利的，但並非如同他所算的66%這麼誇張，也因
為他的勝率很接近50%，所以他的朋友們也是過了好一陣子才發現這個遊戲對安東尼比較
有利

第二種玩法也可以這樣算出來，但如果你想要算得快一點，就必須用到下一個觀念了

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第七、100%減掉「可能發生的機率」等於「不會發生的機率」
這好像在說廢話，如果說10%會發生，那就是90%不會發生嘛
這個觀念其實是在說，如果從正面算很麻煩，我們就從反面算，再用100%去減，會快很多

有多快呢？馬上來驗證一下，剛才我們算了老半天，終於得出安東尼第一種遊戲的勝率是
51.77%

一顆骰子丟4次，至少出現一次6的機率是多少？我們把它反過來問，一顆骰子丟4次，一
次6都沒出現的機率是多少？

沒丟到6的機率是5/6，4次都沒丟到6，就是5/6x5/6x5/6x5/6，625/1296，等於0.4823
1-0.4823=0.5177，賓果～就是51.77%啦

碰到安東尼的第二種玩法，兩顆骰子丟24次，至少出現一次雙6的機率
如果你用前面分開條列狀況、各別計算之後再相加的解法，將會是個惡夢，因為你至少要
算24次

一次雙6的、兩次雙6的、三次雙6、四次五次六次…每一個各自可能的組合情況又超多，
難度直逼窮舉法

但現在我們學會反過來，兩顆骰子丟24次，至少出現一次雙6的機率，我就直接去算兩顆
骰子丟24次，一次雙6都沒有的機率

丟兩顆骰子，出現雙6的機率是1/36，而沒有出現雙6的機率就是35/36
丟24次都沒出現雙6，就是35/36x35/36乘24次，用計算機算出來35/36的24次方等於
0.5086，1-0.5086=0.4914，49.14%

也就是說安東尼第二種玩法的勝率只有49.14%，雖然同樣很接近50%，但是玩多了當然還
是會賠錢的

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後面再順便談談第八、機率的分佈曲線

丟兩顆骰子加起來，數字會在2～12之間，但他們出現的機率很不一樣，有玩過卡坦島的
人就知道，7最容易出現，而12跟2就機率很低了，除非你用抽數字牌2～12來代替，這樣
每個數字的出現機率才會是一樣的

這代表什麼呢？我們可以運用這個原理，去控制隨機數字的跳動幅度，像這樣用兩個骰子
相加的方式，就會讓出現的數字集中在7的上下，更傾向中間值，而較少出現2或12這種極
大極小的極端值

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九、蒙特卡羅法
不知道大家還記不記得前陣子很轟動的Alpha Go？圍棋人工智能
現在正在跟目前世界排名第一的柯潔對戰中，所以我這幾天都在螢幕前耍廢

好想見證人類贏一次沒出bug的Alpha Go啊

蒙特卡羅可以說是窮舉法的反向運用，這種作法不用數學去算，而是直接實際操作、藉由
統計收集到的數據來抓出特定事件的機率是多少，操作的次數樣本數愈多，就愈逼近正確
的機率

如果安東尼要用蒙特卡羅法，他只需要自己在家裡一直骰、一直骰，然後把每一次輸贏的
結果記錄下來可以了，只要實際操作的次數夠多，就能抓到比較精確的勝率數字

有些問題只能靠這個方法來解，比如說缺角的骰子，1～6出現的機率並不一樣，自然就不
能用1/6去算了

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十、安東尼大法
最後，這是所有觀念中最最重要的一條，只要你掌握了這一條，就算前面其他全都忘了也
沒差

覺得機率好難，聽不懂學不會又懶得算？
沒關係，把你的問題拿去問帕斯卡，或者任何你認識的數學天才吧，他們會很樂意幫你算
的

如果你週遭真的找不到專家，也可以去找個有人氣的論壇，把你的問題貼上去，前面寫上
「我知道這個問題對任何人來說都非常困難，但還是希望有人能夠替我解惑」，這類的必
殺句型，對那些擁有八奇思考領域的人非常有效

噢你完全不用擔心這好像在利用人家，因為對你來說是難題，但對他們來說，不過就是茶
餘飯後的休閒娛樂，跟玩數獨的意思差不多

認真說起來，要不是安東尼的笨問題，帕斯卡跟費馬就不會有這些關於機率論的偉大研究
了，或許數學家們才是玩得最開心的呢

下一期，我們來談談機率的好兄弟，期望值
記得準時來上課囉，我是魚子醬，咱們下期再會

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推 BestGarenTw: 數學推
推 eastpopo: 果然最後還是問人最快XD
推 moneyspeak: 推
推 blackcellar: 是不是花太多時間在講機率了？
→ north4909: 其實我也覺得XD 但刪減上很頭大，因為基礎至少得提一下
推 martian001: 好像解釋數學的部分有點多
推 whisperwin: 我反而覺得講得非常清楚，這是最最基礎。很受不了概念
→ whisperwin: 一百分，執行50分的設計。連機率都搞不懂。
推 xiturz: 以前學過的東西，套上桌遊學機率，有趣許多。解說的很不
→ xiturz: 錯！
推 ebv: 機率部分講得很好啊 幫大家複習 用在桌遊上也不會想睡覺 推!