Re: [討論] 克蘇魯的資訊崩潰是教小學生微積分嗎

[arrenwu (最是清楚哇她咩)]

※ 引述《hayuyang (鳳山蠹)》之銘言：
: 推 ianlin1216: 所以極限的定義是什麼 我現在還是看不懂               12/26 16:50
: 推 pponywong: 要懂微積分 要修高等微積分啦                          12/26 16:52
不用特別修高等微積分啦，極限的概念跟中學的數學相比，
確實是很嶄新，但切記：數學理論的發展，都是為了簡化問題
所以數學不應該是艱澀難懂的東西 :)

整個極限的概念的太初之始就是 數列的極限，
其他的極限(比如函數的極限lim f(x) 這種)都只是數列極限的變形

所以我們就來看數列的極限是啥

〈從簡單的例子出發〉
考慮 An = 1/n 這個連角卷綿芽都看得懂的例子
https://i.imgur.com/M8zLo4L.jpg

不管極限定義是啥，「數列An的極限是 0」這個我想是沒有爭議的。
即使不管n多大 An 都不會是0，但顯然 An會朝著 0 前進。

從這邊出發如果要給個定義，很自然有下列這個候選：
        隨著 n 越來越大， An 就越來越靠近 0。
        所以 An 的極限是 0 

這個定義其實很直觀，角卷綿芽都聽得懂。
但是技術上會遇到一點小問題

〈一個稍微靠北的例子〉
考慮一個角卷綿芽可能比較難想像的例子
數列 Bn = 1/n   , n 是奇數
          0     , n 是偶數
https://i.imgur.com/OeOhs2x.jpg
也就是說，這個數列一半像 1/n，另一半則是 0。

首先可以注意到的是：Bn 並沒有"隨著 n越來越大 就越來越靠近0"
因為Bn在奇數項直接就等於0了。

所以上面的極限定義並沒辦法說明Bn極限為0。

但...「Bn的極限是0」也是一件沒有爭議的事情。
因為Bn列車也是一路開往 0 。

有人可能想提問：啊幹 你在找碴喔？n越大數列整體還是越來越接近0啊

是的，「n越大數列整體越來越接近0」這個就是進代極限的想法

〈進代數列極限定義〉
那所謂的「整個越來越接近0」，在數學上是什麼意思呢？
不管你怎麼想，始終都會走到「n如果夠大，那Bn就會在0旁邊」這結論

再寫得量化一點：只要n夠大，Bn與0的距離就會很接近 

這個其實已經夠好了，但是「很接近」是一種感覺，不是數學語言。
所以這個定義仍然需要再精進。

再榨出一些腦汁之後，終究會走到：
        不管你給一個多麼小的數字 c，只要n夠大，
        Bn 與 0 的距離就保證比 c 小 (當然 因為這是距離 c肯定要是正數)

這樣我們就可以量化地闡述上面「很接近」的意思。
到這裡，我們已經得到微積分課本上的數列極限定義了

只是一般課本裡面會寫成：
        對於數列 An，如果給定任何正數 ε，
        我們都可以找到一個分水嶺 N，在 n超過這個分水嶺之後，
        An 與某數字 a 的差距都小於 ε，則我們稱 An 的極限為 a

到這裡，你對數列極限的理解已經跟數學大俠們一樣了
https://i.imgur.com/AsqHWl2.png

從此不再需要聞極限色變 :)

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早川秋看到的未來
https://i.imgur.com/aRFJqId.jpg
https://i.imgur.com/SXPvXGe.jpg

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推 kirimaru73: 你就想像跟賭神對賭 然後證明他一定能比你大/小
→ kirimaru73: 如果怎樣都證明不了 那可能就有問題
→ scarbywind: 那請問An累加的極限是多少
會加到爆掉，你想估計的話，An加到第n項大概跟 ln(n) 差不多
→ kirimaru73: 基本的確實沒很難 有些進階的比較複雜
→ kirimaru73: 例如一個級數正常會爆 但數學家想了新方法讓他不會爆
→ scarbywind: 而且一般課本寫的不是只對無限大而已..
→ kirimaru73: 知名的1-1+1-1+1-1+.... 他確實是發散的
→ kirimaru73: 但有某個我沒在記名稱的什麼什麼和真的等於1/2
我知道你在講哪個定義 我一下子也忘記叫什麼 但那個跟極限定義沒啥衝突的
→ scarbywind: 極限是0的東西為啥加起來極限就不是0 意義阿里(跑
一般人也不會覺得 1+1/2+1/3+... 加一加會變成 0 吧？
推 kskg: 簡單來說定義可以讓你知道極限是0而非-1
→ scarbywind: 那個正負1的數列和不是用一般極限定義去算的
推 kirimaru73: 1/2不是正常的數列和 正常的就是不存在
推 limbra: 1
→ limbra: 按到啦 我對極限的記憶只停留在高中程度 大學雖然有工數
→ limbra: 跟微積分 但我完全不記得哪裡有在用極限 傅立葉？
你這邊的極限如果指的是 數學分析的極限定義(ε-δ)，
那應該是可以都不用碰到。
→ scarbywind: 但一般人不知道會不會收斂吧
→ scarbywind: 我更正一下 為什麼極限是0的數列加起來會發散
是啊 就好像一般人不會知道直角三角形 斜邊平方 = 兩股平方和
這些都是歷史上的重大數學成果 不告訴你 你哪會知道啊XD
推 kirimaru73: 微積分一定會用到 只是看你是只需要公式化做題
→ kirimaru73: 還是像真的知道你在幹甚麼
推 kirimaru73: 調和級數本身就很神奇了
→ kirimaru73: 比如說1/(n^x)累加 x在什麼時候才剛好會爆炸
推 ianlin1216: 謝謝說明 搭配chatgpt 有一點感覺了
推 rabbithouse: 大一微積分先接觸到的東東 棉芽都會
→ kirimaru73: 考試會考你怎麼用ε-δ證明一些簡單的極限
→ kirimaru73: 但都是很好湊的東西，只是要確定你理解而已
→ ykes60513: 那數學在兩個數之間也給它個最小極限 普朗克尺度怎樣(?
推 kirimaru73: 微積分會全壞 第四次數學危機(並沒有)
→ kirimaru73: 數學和物理分家還是有必要的
這也沒什麼分家不分家吧
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 12/26/2024 18:36:56
推 kaj1983: 蛤？不是趨近於0嗎？
推 Ncode: 角卷綿芽聽得懂有什麼了不起 古拉有聽懂嗎
推 d0068267: 所以2.5為什麼會被次元斬幹掉QQ？