Re: [閒聊] 遊戲王三門問題 換，還是不換？

[arrenwu (最是清楚哇她咩)]

※ 引述《comp2468 (ilikemiku)》之銘言：
: : 放屁！
: : 我在信心滿滿地扯一堆「解釋」，
: : 是因為我已經算過三門問題的機率事件結果了
: : 因為有數學理論作後盾，所以我在這邊嘴砲的信心爆棚
: : 就算不是三門這種經典問題，
: : 機率習題裡面，這類"啟發式的思考"，其實是非常容易出錯。
: : 這是為什麼處理機率問題一定要從 定義機率事件 開始。
: : 我的建議是：不用特別去找尋什麼簡單的解釋，學習數學吧 :D
: 欸不是
: 沒那麼複雜吧？
你現在看討論串有沒有覺得比想像中複雜很多？
這是因為 自然語言 在描述量化問題上非常地難用
你講你的感覺，我講我的看法，然後很難講出個所以然

如果用數學語言，問題就變得非常單純了

定義三個隨機變數 T, C, O
T (Trophy): 獎品位置
C (Choice): 人的選擇
O (Opened Door): 被打開的門的位置

T, C, O 的數值可以是 1,2,3 其中一個

考慮一個具體的問題：
        獎品出現的位置可能是 1,2,3 ，機率相等。
        你選了第一個門，現在主持人打開了第二個門。
        如果你不換門，中獎機率多少？

上面這個問題寫成機率的形式就是
        P( T=C | C=1, O=2)
(我把對應的機率事件標上對應的顏色)

P( T=C | C=1, O=2) = P( T=1 | C=1, O=2)

          P( T=1, O=2 | C=1)
       =  ------------------
            P( O=2 | C=1)

                               P( T=1, O=2 | C=1)
       =  -------------------------------------------------------------
          P( T=1, O=2 | C=1) + P( T=2, O=2 | C=1) + P( T=3, O=2 | C=1)


1. 首先 P( T=2, O=2 | C=1) = 0
   因為主持人不可能在獎品位置是2的時候打開2號位置

                                   P( T=1, O=2 | C=1)
所以 P( T=C | C=1, O=2) = ------------------------------------------
                           P( T=1, O=2 | C=1) + P( T=3, O=2 | C=1)

這條件機率剩下的就是 P( T=1, O=2 | C=1) vs P( T=3, O=2 | C=1)

2. 再看 P( T=1, O=2 | C=1)

P( T=1, O=2 | C=1) = P( O=2 | T=1 C=1) P( T=1 | C=1)

                   = P( O=2 | T=1 C=1) * 1/3

P( T=1 | C=1) = 1/3 是因為獎品位置在哪裡跟你選哪扇門是獨立事件。

3.那麼 P( T=3, O=2 | C=1) = P( O=2 | T=3 C=1) * 1/3
                          = 1 * 1/3

這邊趣味的是， P( O=2 | T=3 C=1) 一定是 1，
因為你選1號門，獎品在3號門的時候，主持人只能開2號門

                             P( O=2 | T=1 C=1)
故 P( T=C | C=1, O=2) = --------------------------------  <= 1/2
                          1 + P( O=2 | T=1 C=1)

所以不管主持人開門的策略長啥樣，
你不換門的話，取得獎品的機會最多就是 1/2 (一半)

這從上面的式子可以看得出是因為
      1 = P( O=2 | T=3 C=1) >=  P( O=2 | T=1 C=1)

也就是「如果獎品在3號門，那主持人一定開2號門；
        反而獎品如果在1號門的話，還不一定就開2號門，
        所以2號門被打開暗示著3號門的機會比較大」

我都沒有用什麼巧思喔，就很平鋪直述地寫出來
但整個立論就跟角卷綿芽一樣地清楚對吧？
https://x.com/fuumiisc/status/1890356321074950189/photo/1
https://pbs.twimg.com/media/GjvkkR9a0AA6n6k.jpg

所以我才強調，要了解這類問題，就應該學數學 :D

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鳳雛的清楚講習
https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg
https://i.imgur.com/wD6J6li.jpg

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→ error405: 看 很簡單對吧
推 teddy12114: 怎麼越看越不懂了 還是跟我說1/3跟2/3的版本就好
你講的這個版本就是 主持人會從剩下的門裡面隨機選一扇門打開，
也就是 P( O=2 | T=1 C=1) = 1/2 的情況。
這情況下 P( T=C | C=1, O=2) = 1/2 / (1+ 1/2) = 1/3 
也就是不換門的話你中獎的機率是 1/3
→ fup6456: 說得很對 下次別說了
→ peterisme17: 對，跟我想的一樣
→ SLEEPNIGHT: 如果是直接主持人第二次說除了B剩下的門其中一個有獎
→ SLEEPNIGHT: 勵，請重新選，選擇A或C中獎機率有改變嗎
這跟把B打開不是一樣嗎？
→ SLEEPNIGHT: 這時候重選，直接遺忘前面狀況，不就應該是1/2
你這個「遺忘前面狀況」指的是？
因為 "你一開始選1號門，主持人說2號門沒有東西"這不是可以「遺忘」的事件
→ rufjvm12345: 要變成1/2就要再加個條件 最後2門打散讓你分不出哪門
→ SLEEPNIGHT: 我的假設狀況是主持人，我現在把選項B刪除，請來賓在
→ SLEEPNIGHT: A跟C重新選擇
那不就是這篇的機率描述嗎？ "刪除B之後，仍選A的中獎機率"
→ SLEEPNIGHT: 重新選擇跟是否更換，這兩種說法在機率上是一樣的意
→ SLEEPNIGHT: 思還是不同？
不管你要解釋成 重新選擇 還是 是否更換，
你能做的就只有 "選A" or "選C"。都不影響上述立論啊
推 mofass: 在刪除後，換與不換不應該成為一個新的1／2機率嗎？反過來
→ mofass: 想，現在有A跟C兩個選項，然後主持人加入一個B並告訴你B不
→ mofass: 會中獎，這樣AC的機率不也是1／2？
你不妨仿照我這篇文章把機率事件寫出來之後算算看機率？
我跟你說，所有的困擾和疑惑其實都來自於"空想"，
真的在紙上寫出來的時候，什麼都很清楚了
推 D122: 樓上 說法不同 但實際上獎品位置沒變 這才是最主要的
→ D122: 這就是語言誘導的點 讓你產生錯覺
→ D122: 所以懂的人只會用一句 “你覺得你一開始有選中嗎？”
→ D122: 因為若是這句話都無法繼續思考 再解釋也是白搭
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 02/18/2025 17:00:37
推 cmrafsts: 我覺得你的機率教授也不會想看你這樣寫的，怎麼不把你
→ cmrafsts: 第一篇那個寫成樣本空間上的操作就好？
→ cmrafsts: 證明兩個子集相等當然也是合格的寫法。
推 ThousandSnow: 我認真看完了，我猜你是想強調「如果主持人開門不是
→ ThousandSnow: 隨機開，選擇不換的話，拿到獎品的機率也<=1/2」
→ ThousandSnow: 可是我不要獎品只要WTM，所以我選擇不換