Re: [請益] 卡二定理的使用時機

[h10840206 (仕倖)]

※ 引述《gentle3 (長壽3號)》之銘言：
: 不好意思，請問版上前輩，有關於卡二定理的使用時機，該用於何處？
: 基本上卡二比較方便解桁架，但是碰到梁與剛架，又要寫方程式，又要偏微分，
: 最後又要積分，再總和數值XD...........
: 請問，卡二對於梁與剛架有就讀的必要性嗎？

試著回應您好了...雖然我也不是高考榜首什麼的...不過結構至少有90分ww

根據您說的問題和回應的大大們的說法，
說明一下單位力法、最小功法、以及卡二的差異。

【第一部分】覺得計算量大很麻煩的樣子，不用學？

你說的麻煩應該只是「計算量大」，畢竟M通常是變數，是x的函數，即M=M(x)，
不像桁架軸力都是定值，只要加總就好。

寫程式其實就還好，畢竟轉個方向個而已，
如果是考試，放心大家都跟你一樣。

你覺得複雜可能是兩個部分：
(1) 彎矩方程式經驗不足。(這部分要多練習，或是多看，累積經驗，不然M(x)寫太慢)
(2) 覺得列式很煩。(如果是這一點，請看下列方式。)

推薦的方式，就是列表格，譬如一個ㄇ字型Frame(順時針ABCD點)，
(裡面的方式程式是我亂舉例的，我的意思是您就這麼做就好了~)
╔══╤══╤═══╗
║桿件│原M │偏微M ║
╠══╪══╪═══╣
║ AB │x-2R│ -2   ║
╠══╪══╪═══╣
║ BC │ x  │  0   ║
╠══╪══╪═══╣
║ CD │x+R │  1   ║
╚══╧══╧═══╝

或是右邊再多一格相乘之後的值，這樣：
(1) 知道自己在幹嘛
(2) 一目了然，很好檢查。
(3) 錯誤率較低

一般我是這麼做的，基本上書上都直接列，你夠熟也可以直接列，
但我覺得列表比較安全。
然後就很好寫了。

像是今年104年普考有一題，靜不定的桁架，
故意給你一個桿件內力大小(但不給你方向)，就變成靜定題目了！
但有些人拉壓力搞錯就直接GG，因為節點法，拉壓力力平衡不管怎麼平衡都會對，
拉力和壓力只有一個變形諧合是正確的，才是那題的答案。
算是滿大的陷阱的(因為國考其實時間每一題時間都很緊迫)，
甚至其實用看得就可以知道那題是壓力和拉力(但吃經驗)，
所以不放心的話，我當時考完還有時間，刻意用卡二去算算看，
就列表不到10分鐘就搞定了，真的只有一個答案。



【第二部分】3種方法，稍微有點不同，尤其是單位力法！

1. 卡二：應變能對贅力的偏微分，等於贅力方向的位移量(若為靜定，最後贅力代0)。
好處是，贅力R由重疊原理可以直接丟到M方程式裡面計算，一次搞定。

2. 最小功法：應變能對贅力的偏微分為0(卡二的位移量未必是0)，為卡二的特例，
通常是設不移動支承的力為贅力會用到，總之也是卡二。並不是靜不定就是最小功法唷~

3. 單位力法：「虛外力 x 真外位移 = 虛內力 x 真內變形」
單位力法計算過程會和卡二很像，不然答案怎麼會一樣？
就跟能量位法的兩種方法：「卡氏第一定理」和「最小總勢能原理」，
解到後來列式和數字都會相同的這個原理一樣。

但其實單位力法和卡二是不同的原理。
一般我列式不會列什麼「1xδ=(一堆積分式)」，
因為我大學就是這樣學，根本不知道在列什麼式，
就跟當初國中應用題目列式都是在背題目和背列式方法一樣，只是在"背解法和答案"，
我都是先寫「虛外力 x 真外位移 = 虛內力 x 真內變形」，再去列式。

單位力法只不過是借用內外能量守恆(虛x實)及簡單的數學式「axb=cxd」，
把abcd的意義改變而已，等號還是成立。
●虛功原理→a和c是實際外力和內力，b和d是虛內外變形。
●單位力法→a和c是虛外力和虛內力，b和d是實際內外變形。(虛補功原理)
但整體而言，還是「力x位移=內力x內變形的和」，不管虛實，等號還是成立。

只是計算過程中，最後會長的和卡二一樣，所以大家都會以為是一樣的東西。
事實上，用單位力法時，通常會畫出兩個結構，
一個是原本外力所作用的結構，
一個是單位力所作用的結構。

因此我右側的積分式會這樣列式：∫n‧dδ+∫m‧dθ+...等等
至於dθ是什麼，材力有教過：曲率κ=dθ/dx=M/EI，ε=dδ/dx=N/EA，
所以再把dθ、dδ代進去就知道了，
就跟你課本寫的一樣。
(若是有扭力什麼的扭力應變能就也一起放進去)
(若是有支承沉陷什麼的，它在式子的左側，它屬於外變形，
單位力算出該支承反力再乘以沉陷量就好了。
反正原理就是「作功」啦~~~你只要知道作功像是內部丟右側，外部丟左側就好了！)

所以為什麼一般題解或是講義、課本常出現用「卡二」，而非單位力法。
因為單位力法雖然也可以解「靜不定結構」，但以單位立法的原理，
會用到兩次單位力法，很麻煩@@
就是在贅力方向設單位力，然後由邊界條件位移=0，求出贅力。
但您想想看，在求的過程中，為了配合變形諧合，把單位力乘以未知的R倍，
後面過程就很像卡二了。
那您卡二不就是「直接假設贅力R」了嗎？何必先設1然後再重疊原理？@@
所以因此對我來說，直接用卡二就好了。
不過您這麼做可以為「柔度矩陣」設下基礎...
因為柔度矩陣就是一堆單位力法(9華的紫煌老師愛用柔度矩陣)
若沒興趣...我是推薦一個我自己的方法：
(雖然我會用柔度...但我真的很少用，
因為國考題目很少靜不定度很高的，研究所不一定...我寫過3度的@@)

【適合度】
●靜不定、靜定解各桿件或支承內力→【卡二=最小功法】
●靜定結構的某個節點位移或轉角→【單位力法>卡二(設R後代0)】
(卡二證明中並沒有說可以用溫度變化等特殊題目，
但可以用等(效)值節點載重就可以用)

不然，靜不定問題求位移您用單位力法，還是等於在用卡二解出贅力。
因為您只是把單位力法的概念，兩個結構重疊原理而已，
簡單講還是「卡二」，那不如一開始就用卡二，比較不會亂！

最後，解「靜不定結構節點位移」的問題，解出贅力後求位移時，
務必討論「基元結構」就好了！！(簡單講就是贅力R把它當外力後的結構)
就是一個靜定結構求位移而已！這樣還比較簡單，剩下就交給單位力法了！
算原結構還要再算一次靜不定...@@

以上只是小弟的學習方式...如果有錯，再請各位前輩指證@@

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推 sam50289: 積分式子裡的 M  是單位力造成的彎舉？
推 sam50289: 嗎
不好意思~已經修改了！是的！小寫都是「單位虛力」求出的內力參數！
"dx"什麼的微量是真實變形！不好意思@@
※ 編輯: h10840206 (61.228.112.213), 12/01/2015 19:51:47
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